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Beitrag |
    
brugger
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 15:22: | 
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Seien p & q 2 Polynome mit Grad £ n. Beweisen sie folgende Aussage: Hat die Gleichung p(x) = q(x) mehr als n verschiedene Lösungen, so ist das Polynom p gleich dem Polynom q.
Herzlichen Dank |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 20:11: |
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Ein Polynom vom Grad n ist Sn i=0 aixi.
Dieses Polynom vom Grad n hat n+1 Koeffizienten. Wenn die n+1 Koeffizienten feststehen, dann ist das Polynom vollständig und eindeutig bestimmt.
Gegeben seien 2 Polynome vom Grad n, also
p(x) = Sn i=0 aixi
und
q(x) = Sn i=0 bixi
Wenn p(x)=q(x) mindestens n+1 Lösungen x0, ..., xn hat, dann ergibt das n+1 Gleichungen mit n+1 Unbekannten, nämlich:
Sn i=0 ai*xji = p(xj)
Die Koeffizienten ai koennen nach Voraussetzung aus dem Gleichungssystem bestimmt werden.
Ebenso gilt aber auch
Sn i=0 bi*xji = q(xj) = = p(xj). |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 20:37: |
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Betrachte das Polynom
r(x) = p(x) - q(x).
r(x) hat einen Grad <= n und mehr als n Nullstellen. Also ist r(x) das Nullpolynom. Somit p(x) = q(x). |
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