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Roman
| Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 14:56: |
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Hallo! Ich stehe gerade fürchterlich bei einer Aufgabe an, die wie folgt lautet! Untersuche folgende Reihen mit Hilfe des Wurzelkriteriums auf Konvergenz: a.) SUMME(ln k/3^k) für k=1 bis unendlich b.) SUMME(2^k/k^3) für k=1 bis unendlich Grundsätzlich verstehe ich wie das Wurzelkriterium funktioniert, jedoch habe ich meine Probleme mit der Berechnung der Grenzwerte. zu a.) zu zeigen ist: lim k-te WURZEL(ln k / 3^k) < p < 1 zu b.) lim k-te WURZEL(2^k/k^3) < p < 1 Soweit bin ich gekommen, doch die Grenzwerte fuchsen mich gewaltig. Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar, auch wenn sie "ausfühlichst" sind ;-) |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 10:17: |
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Hi Roman, Beide Grenzwerte existieren: Der erste hat den Wert 1/3 , der zweite ist 2. Nachweis a) ak = [ln ( k ) ^ (1 / k) ] / [(3 k ) ^ ( 1 / k) ] = 1/3 * ( ln k ) ^ ( 1 / k ) Sei zk = ( ln k ) ^ ( 1 / k ) ;dann entsteht durch Logarithmieren:: uk = ln (zk) = 1/k * ln { ln k } Für k gegen unendlich erscheint rechts die Form "unendlich durch unendlich" . Wir können wie bei der unbestimmten Form 0/0 die Regel von de L'Hospital - Bernoulli einsetzen, indem wir Zähler und Nenner einzeln nach k ableiten. Dann gilt: lim uk = lim [ {1/ (ln(k) * 1 / k } / 1 ] = lim [ 1 / ( k* ln (k)) ] = 0 somit entsteht: lim zk = 1 und lim ak = 1/3 (alle Grenzwerte im Sinne von k -als stetige Variable - strebt gegen unendlich) b) Vorbereitung Ebenfalls mit de L'Hospital - Bernoulli zeigt man: x* ln x hat für x gegen null den (rechtsseitigen) Grenzwert 0 , somit gilt x ^ x srebt gegen 1 für x gegen null. Wir formen bk = [2^k / k^3 ] ^ (1/k) um, indem wir 1 / k = x setzen Mit k (kontinuierlich) gegen plus unendlich srebt dann x (kontinuierlich) fallend gegen null. Wir erhalten bk = 2* (x) ^ (3x) = 2 * [x^x]^3, nach der einführenden Bemerkung strebt bk gegen 2 q.e.d.. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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