| Autor |
Beitrag |
    
Rebekka (rebmalten)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. September, 2002 - 21:23: | 
|
...und wieder etwas, das ich in dem Buch von Basieux nicht verstehe:
(S.375)
'Man hat lange Zeit versucht, dieses Axiom [das Parallelenaxiom] als (aus den anderen Axiomen herleitbaren) Satz hinzustellen; erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurde nachgewiesen, daß es sich tatsächlich um ein Axiom handelt. Es gelang nämlich, 'nicht-euklidische' Geometrien zu konstruieren, die sich von der Geometrie Euklids lediglich in der Aussage des Parallelenaxioms unterscheiden und dennoch in sich widerspruchsfrei sind.'
Und wieso hat man das damit nachgewiesen? Widerspruchsfreiheit deutet doch eher darauf hin, daß es ein vollständiges (nicht im mathematischen Sinne) System ist, das keine weiteren Axiome mehr benötigt, aus dem also alles weitere hergeleitet werden kann... !?
Danke für eine Erklärung!
Reb
|
Rebekka (rebmalten)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 10:28: |
|
...kann mir das nicht doch bitte jemand erklären?
Gruß
Reb
|
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1357
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 13:55: |
|
Hallo Reb,
ich versuch's mal.
Widerspruchsfreiheit heißt nicht Vollstädigkeit.
Widerspruchfreiheit eines Axiomensystems heißt, dass du aus den Axiomen und den logischen Schlussregeln keinen Widerspruch herleiten kannst.
Nimm an, du hast ein Axiomesystem A1, A2, ..., An.
(Z. B. die Axiome der Geometrie ohne das Parallelenaxiom)
Wenn es ein Modell gibt, dass diese Axiome erfüllt, dann ist das Axiomensystem zwangsläufig widerspruchsfrei. Denn, könntest du einen Widerspruch herleiten, dass würde er auch für das Modell gelten. Das würde das Modell aber zerplatzen lassen - d. h. es existiert nicht!
Nimm jetzt an, es gibt zwei unterschiedliche Modelle, die das Axiomensystem erfüllen.
In dem einen Modell möge eine Aussage B und in dem anderen die Aussage ~B (die Negation von B) gelten.
Dann können B und ~B unmöglich aus den Axiomen hergeleitet werden. Würde etwa B hergeleitet werden können, dann müsste B auch in dem zweiten Modell gelten. Dort gilt dann gleichzeitig B und ~B. Unmöglich!
Also kann B getrost zu den Axiomen hinzugenommen werden, da es unabhängig von den anderen ist.
Hoffe, das war jetzt einigermaßen verständlich
Z. |
Rebekka (rebmalten)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 18:02: |
|
Vielen Dank, Zaph; dieser Satz hat's geschafft:
'Würde etwa B hergeleitet werden können, dann müßte B auch in dem zweiten Modell gelten.'
Ich habe es verstanden  ...
Reb
|
|
