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Lars
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:14: |
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Wie löse ich dieses unbestimmte Integral |
Cosine (Cosine)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 19:54: |
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Hi Lars! Folgender Vorschlag: Schreib für sinhx=[e^x -e^(-x)]/2 Und dann benutze die Substitution u=e^(2x). Man muss den Ausdruck vorher und nachher noch ein bisschen umschreiben, aber das müsste zum Ziel führen. Falls Du nicht weiterkommst, frag nochmal nach! Ciao Cosine |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 19:59: |
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Substitution : e^x = t ==> dx = dt/t. Das fŸhrt auf das Integral int(t^3/(t^1-1)^2))dt. Der Integrand ist nach Partialbruchzerlegung : (t-1)^(-2)+ 2(t_1)^(-1) - (t+1)^(-2) + 2(t+1)^(-1) womit die Sache gelaufen sein dŸrfte. Happy dreams Hans |
Stefan (Stefan26)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:54: |
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Hallo Hans, das Ergebnis Deiner Substitution verstehe ich nicht. Wenn wir den Faktor 4 vom sinh weglassen, bekommen wir doch: (t2+1) / (t-1/t)2 * dt/t = t(t2+1)/(t2-1)2 dt |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 21:59: |
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Hi allerseits, Stefan ist auf dem richtigen Weg ! Q(t) = (t^3 + t) / (t^2 - 1)^2 wird durch den folgenden Ansatz in Partialbrüche zerlegt: Q = a / ( t +1 ) ^ 2 + b / ( t +1 ) + c / ( t - 1) ^ 2 + d / (t -1) . Bringt man diese Summe von Brüchen wieder auf einen Nenner und vollzieht den Koeffizientenvergleich, so erhält man das folgende lineare Gleichungssystem in a , b , c, d: b + d = 1 a - b + c +d = 0 - 2 a - b + 2 c - d = 1 a + b + c - d = 0 mit den Lösungen: a = - ½ , b = ½ , c = ½ , d = ½ Setzt man dies ein, berücksichtigt den weggelassenen Faktor 4, integriert und macht die Substitution rückgängig ,so erhält man das (hoffentlich richtige ) Schlussresultat: 2 / (e^x +1) + 2 * ln (e^x+1) -2 / (e^x -1) + 2* ln (e^x - 1) + constans. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Lars
| Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 06:31: |
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Vielen Dank euch allen! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 07:30: |
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Sorry, habe +1 im Zaehler Ÿberlesen ! |
Stefan (Stefan26)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 00:23: |
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habe eben noch einen kürzeren Weg gefunden. Machmal hilft es genau hinzusehen um eine logarithmische Integration zu erkennen. Z.B. kann man ja sofort ex/(ex+1) zu Log(ex+1) integrieren. (e2x+1) / sinh2x = 4(e2x+1) / (ex-e-x)2 = 4e2x(e2x+1) / (e2x-1)2 den Zähler formen wir um zu 8e2x + 4e2x(e2x-1) und erhalten nach aufspalten (e2x+1) / sinh2x = 8e2x / (e2x-1)2 + 4e2x / (e2x-1), was sich sofort zu -4 / (e2x-1) + 2Log(e2x-1) integriert, was mit dem Ergebis von megamath übereinstimmt. |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 05:02: |
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Wenn ich auch noch mal meinen Senf dazu geben darf (hoffentlich habe ich jetzt die Aufgabe richtig gelesen ): Im Zaehler e^x ausklammern, e^x = cosh(x)+sinh(x) schreiben, cosh^2(x)=1+sinh^2(x) benutzen, dann lautet der Integrand 2{1 + 1/sinh^2(x) + cosh(x)/sinh(x)} = 2*(d/dx){x - coth(x) + ln|sinh(x)|}. Gruss Hans |
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