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Schuster Sibylle (Aleika)
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 17:55: |
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Hi, könnte mir vielleicht einer helfen, das wäre echt toll Sei m ein Element der natürlichen Zahlen, m>1. Beweisen Sie die Ungleichung ln(m)+ln2+1/2m > 1+1/2+...+1/m durch eine geeignete Abschätzung der Fläche unter dem Graphen von f(x)=1/x mit geeigneten Tangententrapezen. |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 20:33: |
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Hallo : Betrachte fuer k = 1,...,m das Trapez T_k ueber dem Intervall [2k-1,2k+1], dessen eine Seite die Kurve y = 1/x im Punkt (2k,1/2k) tangiert. Elementare Rechnung zeigt, dass Inhalt(T_k) = 1/k Daher 1/k > ln(2k+1) - ln(2k-1) Addiert man diese Ungleichungen fuer k=1,...,m, so folgt (rechts steht eine Teleskopsumme !) 1 + 1/2 + ... + 1/m < ln(2m+1). Das ist sogar mehr als verlangt, denn offenbar ist ln(2m+1) < ln(2m) + 1/2m. Hans |
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