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Beitrag |
    
hyperdatis
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 20:27: | 
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Bitte |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 21:28: |
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Hi hyperdatis!
Bei der Funktion f(x)=a^x (mit a>0) handelt es sich um die allgemeine Exponentialfunktion mit Basis a.
a kann hier jede positive Zahl annehmen, bis auf 1, da man 1^x normalerweise nicht als Exponentialfunktion ansieht.
Setzt man die Basis a nun auf die Eulersche Zahl e (ungefähr 2,718281828459...), so erhält man die sog. "natürliche Exponentialfunktion" oder kurz "e-Funktion":
f(x)=e^x
Hier ist die Ableitung ganz einfach gleich der Ausgangsfunktion:
f'(x)=e^x
Daraus folgt, dass jede weitere Ableitung ebenfalls e^x ist und daher die Funktion auch ihree eigene Stammfunktion ist.
integral(e^x dx)= e^x +C
Wenn die Basis einer Exponentialfunktion gleich e ist, gibt es also kein Problem. Fehlt noch Ableitung und Stammfunktion für allgemeine a:
Die Idee ist hier die Funktion a^x mit beliebigem a ebenfalls auf die Basis e zu bringen, um dann nach obigen Regeln ableiten und integrieren zu können.
Beispiel: Finde die Ableitung von f(x)=2^x
Die Basis a ist 2, wir brauchen aber die Basis e. Es stellt sich also die Frage:
e^(wieviel) = 2
Diese Gleichung nach "wieviel" aufgelöst ergibt den nat. Logarithmus von 2, also ln(2).
Wir wissen jetzt also, dass wir die Zahl 2 als e-hoch-Ausdruck schreiben können, indem wir
2=e^(ln2) schreiben.
Die Funktion f(x)=2^x wird somit zu
f(x)=(e^(ln2))^x = e^(x*ln2)
Nun können wir nach Kettenregel ableiten:
f'(x)=e^(x*ln2)*ln2
(ln2 ist die innere Ableitung von x*ln2)
Für e^(x*ln2) können wir wieder 2^x schreiben.
Zusammenfassung: Die Ableitung von 2^x ist demnach
2^x*ln2
Nach dem gleichen Verfahren zeigt sich, dass sich die allgemeine Exponentialfunktion
f(x)=a^x (mit a>0)
auf die Basis e bringen lässt, indem man sie als
f(x)=e^(x*lna)
schreibt.
Die Ableitung davon ist -nach Kettenregel-
f'(x)=e^(x*lna)*lna
also
f'(x)=a^x * lna
KURZ: Die Ableitung einer Exponentialfunktion mit der Basis a ist wieder eine Exponentialfunktion mit Basis a, nur multipliziert mit dem nat. Logarithmus von a
Noch'n Beispiel: f(x)=9^x
f'(x)=9^x * ln9
f''(x)=9^x * ln9 * ln 9 =9^x * (ln9)²
f'''(x)=9^x * (ln9)3
Da man ableiten kann, indem man mit lna multipliziert, folgt daraus, dass man integriert, indem man durch lna teilt.
Zum Beispiel:
Integral (9^x)dx = 9^x / ln9 +C
Das lässt sich einfach durch Ableiten der Stammfunktion zeigen.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen...
Ciao,
Cosine |
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