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Heike Baltes (Flateric)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 15:50: |
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WANTED gegeben: Kugel K Mittelpunkt: M(1/2/1), Radius: r=3 Geradenschar(-5/9/-4)+ s(r/2(k-r)/-k);k,r Element von R gesucht: Zeige, daß alle Geraden g(k,r) der Schar in der selben Ebene E liegen! Ermittle eine Gleichung von E! Das genügt erstmal, oder? |
Heike Baltes (Flateric)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:58: |
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Sorry! Die Kugel kommt erst bei späteren Aufgaben ins Spiel! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 19:37: |
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Hi Heike, Wir wählen zwei verschiedene Richtungsvektoren aus v sei der Richtungsvektor bei der freien Wahl : r = 1 , k beliebig ; es kommt : v = {1 ; 2k - 2 ; - k} w sei der Richtungsvektor bei der Wahl k = 1, r beliebig Wir erhalten: w = { r ; 2 - 2r ; -1 } Jetzt bilden wir das Vektorprodukt n = u x v ,in der Hoffnung, dass bei gutem Benehmen des Vektors p er zum Normalenvektor der gesuchten Ebene befördert wird Dieses Vektorprodukt lautet: n = { 2-2rk ; 1 - rk ;2 - 2rk} = (1-rk)*{ 2 ;1; 2 }, Quintessenz: n hat eine feste Richtung im Raum: Er ist stets zum Vektor n * = {2 ;1;2 } parallel; wir benützen n* deshalb als Normalenvektor der gesuchten Ebene. Die Gleichung von E lautet demnach: 2 x + y + 2z = - 9 Die Konstante recht ergibt sich aus der Tatsache, dass E durch den Punkt P(-5/9/-4) gehen muss Der Punkt P ist der Scheitel des gegebenen Geradenbüschels; durch ihn gehen sämtliche Geraden der gegebene Geradenschar. Du kannst eine Probe durchführen, indem Du x = - 5 + sr , y = 9 + 2sk -2sr , z = - 4 - sk in die Ebenengleichung einsetzest Was passiert ? Schlussbemerkung 1. In der Aufgabenstellung kommt der Buchstabe r in zwei verschiedenen Bedeutungen vor: als Kugelradius und als Scharparameter. Vorschlag: Bezeichne den Kugelradius mit R 2. Ich ahne,wie es weitergeht: Man soll nachweisen, dass E eine Tangentialebene der Kugel ist ? Das würde aber nur für R = 5 zutreffen ! 3. Ich hätte das Ende der Aufgabe lieber sofort erfahren Auch in einem Restaurant sehe ich auf der Speisekarte, welche Art Dessert ich erwarten darf. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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