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Evi (eviii)
Mitglied
Benutzername: eviii
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 16:27: | 
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Hallo! Die Aufgabe ist echt schwer ich finde keine Lösung. Bitte helft mir.
Stelle eine Gleichung für die Schar der Geraden auf, die a,b und c schneiden.
a: X=a*(0|0|1)
b: X=(1|0|0) + b*(0|1|0)
c: X=(0|1|-1) + g*(1|0|0)
Viel Spaß beim Kopf zerbrechen.
Gruß Evi |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2066
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 16:00: |
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Hi Evi,
Ich bin froh, dass Du diese sehr schöne Aufgabe ins Netz gestellt hast.
Sie ist von grundsätzlicher Bedeutung für alle, die es in der Vektorrechnung
ein kleines Bisschen weiter bringen wollen.
Sie dient auch als Beispiel dafür, wie man Regelflächen im Raum
erzeugen kann und wie die so erzeugte Fläche zweiter
Ordnung analysiert werden kann; ich komme bei Gelegenheit auf
diese Bemerkungen zurück.
Eher als sekundär und sogar als erwünschte Nebenwirkung gilt
die Tatsache, dass man sich den Kopf zerbriche.
Ein bleibender Schaden, so hoffe ich, wird es nicht geben!
Ich gebe Dir das Resultat; die Herleitung folgt
aus Zeitgründen später.
Die Schar der Geraden g(h,t),die von zwei Parametern h und t,
die unabhängig voneinander je von minus unendlich bis plus
unendlich variieren, beherrscht wird, lautet in der skalaren Form so:
x = - (1+h) t , y = - h t ; z = h + h ( 1+ h) t
Dabei sind x,y,z -wie üblich- die Koordinaten
eines laufenden Punktes von g(h,t).
Du verstehst mehr davon, wenn ich Dir Détails zeigen werde.
Bis dann !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2067
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Mai, 2003 - 18:11: |
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Hi Evi,
Nun zur Herleitung der Parameterdarstellung einer solchen
Geraden g, welche die drei windschiefen Geraden a,b.c je in
einem Punkt schneiden soll.
Eine solche Gerade wird Transversale der windschiefen Geraden
genannt.
Es ist für das Verständnis nützlich, sich eine so genannte
stereometrische Lösung des Problems zurechtzulegen.
Ich gebe dazu zwei Varianten
I.
Wir legen eine beliebige Ebene E durch die Gerade a.
Diese hat mit den Geraden b, c je einen und nur einen
Schnittpunkt B, C.
Die Verbindungsgerade BC = g ist eine mögliche
Transversale,wie man leicht bestätigt
g liegt mit B und C ganz in E, ebenso a.
Somit kommt es zum erforderlichen Schnitt.
II
Wir wählen irgendeinen Punkt A auf a aus.
A spannt mit b und c je eine Ebene E1, E2 auf
Die Schnittgerade s dieser Ebenen ist eine gesuchte
Transversale, denn sie liegt mit b und c je in einer Ebene,
erzeugt somit Schnittpunkte mit ihnen.
s schneidet aber auch a, und zwar in A;
A gehört beiden Ebenen an und liegt somit auf s.
Es ist ferner nützlich, wenn man sich von den einfachen Lagen
der Geraden eine Vorstellung macht:
a fällt mit der z-Achse zusammen,
b ist parallel zur y-Achse und geht durch den Punkt (1/ 0 /0)
c ist parallel zur x-Achse und geht durch den Punkt (0 /1 /-1).
Jetzt kommt die eigentlich lösung mit Variante II
Wir Wählen einen Punkt P auf a aus und geben die z-Koordinate
Von mit als Parameterwert h vor:
Es dilt somit P(0/0/h).
Die Gleichungen der Ebenen E1 und E2, welche durch P,b
einerseits und P,c andrerseits bestimmt werden, lauten:
E1: hx + z = h, die Koordinaten von P und diejenigen
der Punkte (1/0/0) und (1/1/0),die auf b liegen,
befriedigen die Gleichung
E2: (1+h) y + z = h, die Koordinaten von P und diejenigen
der Punkte (0 /1/-1) und (1/1/-1),die auf c liegen,
befriedigen die Gleichung
Als Normalenvektoren n1,n2 dieser Ebenen dienen
für E1: n1={h;0;1}
für E2: n2 = {0;1+h;1}
Das Vektorprodukt p dieser Vektoren gibt einen Richtungsvektor
der Schnittegeraden s von E1 und E2 und
damit der gesuchten Transversalen.
Es ist p = {-1-h;- h; h + h^2}
Da s durch A(0/0/h) geht (so hat alles angefangen).
lautet die Parametergleichung von s:
x = - (1+h) t , y = - h t ; z = h + h ( 1+ h) t
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Hierbei ist t ein weiterer Parameter (neben h).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Evi (eviii)
Mitglied
Benutzername: eviii
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 15:27: |
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Diese Aufgabe stammt aus meinem Mathebuch und wurde zu einem Zeitpunkt gestellt, als wir Schüler noch nicht die geringste Ahnung von Ebenen im Vektorraum hatten. Gibt es auch eine Lösung ohne dazu Ebenen zu verwenden?Für Dich sollte das doch kein Problem sein Aufgaben ohne gewisse "noch unbekannte" mathematische Mittel zu lösen.
Vielen vielen Dank für die Lösung.
Gruß Evi |
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