Autor |
Beitrag |
Caro
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 10:35: |
|
Grüß Gott, R^4: x=(1,1,1,1) y=(2,-4,11,1) z=(0,2,-3,0) Nun soll eine Basis von L((x,y,z) bestimmt werden. Außerdem soll die Folge x,y durch geeignete Einheitsvektoren des R^4 zu einer Basis des R^4 ergänzt werden. Gibt´s da Vorschläge? |
Fern
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 12:17: |
|
Hallo Caro, Die Vektoren x,y,z sind linear unabhängig. Sie sind deshalb eine Basis des (3-dimensionalen) Unterraumes L. ===================================== |
Caro
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 12:22: |
|
Wie beweist man denn das? |
Fern
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 13:24: |
|
Hallo Caro nochmals, ZWEITE FRAGE: x=(1,1,1,1) y=(2,-,4,11,1) Gesucht ist eine Erweiterung mit Einheitsvektoren zu einer Basis in R^4. Die Einheitsvektoren sind: e1=(1,0,0,0) e2=(0,1,0,0) e3=(0,0,1,0) e4=(0,0,0,1) Wir schreiben nun x,y e1,e2,e3,e4 als Kolonnen einer Matrix:
1 2 1 0 0 0 1 -4 0 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 Diese Matrix reduzieren wir nur und erhalten: 1 2 1 0 0 0 0 -6 -1 1 0 0 0 0 -5/2 3/2 1 0 0 0 0 -3/2 -1/3 1 Wir sehen, dass die ersten vier Kolonnen "Drehpunkte" (ich weiß nicht wie dies auf Deutsch heißt. Auf Englisch: "pivots") enthalten; deshalb sind die ersten vier Vektoren in der Ausgangsmatrix unabhängig und bilden eine Basis. Die gesuchte Basis für R4 ist also: x,y,e1,e2. ===========
|
Fern
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 13:38: |
|
Hi Caro, ich habe deine neue Frage zu spät gesehen: Wie man all dies genau beweist, weiß ich auch nicht. Es gibt da so einen Satz: Falls W ein Unterraum von Rn ist und Dimension(W)=k, dann ist jeder unabhängige Satz von k Vektoren eine Basis von W. Unser Unterraum L ist durch die Vektoren x,y,z gegeben, deshalb habe ich angenommen, dass seine Dimension=3 ist. Streng genommen müsste dies in der Aufgabenstellung spezifiziert sein. |
|