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Elampe
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 18:54: |
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Könnte mir mal jemand folgende Aufgabe vorrechnen? Führen Sie für die Quadrik 4xy - z² + x / sqr(2) - y / sqr(2) = 0 die Hauptachsentransformation durch, und geben Sie den geometrischen Typ der Fläche an. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 15:28: |
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Hi Elampe, Erster Schritt Wir ermitteln zuerst die Schnittkurve c der gegebenen Fläche zweiter Ordnung, indem wir in der Gleichung z = 0 setzen: Die Koordinatengleichung von c lautet: 4 x y + x / wurzel(2) - y / wurzel(2) - 1 = 0 Diese Gleichung stellt eine Normalhyperbel in der (x,y)-Ebene dar ( Normalhyperbel:die Asymptoten stehen aufeinander senkrecht ). Den Mittelpunkt dieser Hyperbel, der zugleich Mittelpunkt der unserer Fläche zweiter Ordnung ist, ermitteln wir auf zwei Arten. Das Resultat sei vorweggenommen ; es gilt : xM = 1 / (4*wurzel (2)) , yM = - 1 / (4* wurzel (2)) 1.Methode Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Asymptoten a1,a2; a1 ist parallel zur x-Achse, a2 parallel zur y-Achse.. Wir dividieren die Gleichung von c durch xy und lassen einmal x gegen unendlich und ein andermal y gegen unendlich gehen Es gilt: 4 + 1 / y * 1 / wurzel (2) - 1 / x * 1 / wurzel(2) - 1 / (xy) = 0 Die Gleichung der Asymptote a1 erscheint, wenn wir x gegen unendlich laufen lassen; es kommt 4 + 1 / y * 1 / wurzel(2) = 0 oder y = - 1 / (4* wurzel(2)) Die Asymptote a2 erhalten wir, wenn y gegen unendlich strebt, nämlich: 4 - 1 /x * 1 / wurzel (2) oder x = 1 / (4*wurzel(2)), wie in der Voraussage angekündigt wurde 2.Methode Wir differenzieren die Gleichung von c implizit nach x und erhalten: 4 * y' + 1 / wurzel(2) - y ' / wurzel(2) = 0 Auflösung nach y': y ' = - [ 4 * y + 1 / wurzel(2 )] / [4* x - 1 / wurzel(2)] Setzt man y' = 0 , d.h. den Zähler gleich null, so erhält man gerade die Gleichung der Asymptote a1, setzt man hingegen 1 / y' , d.h. den Nenner gleich null, so erhält man die zur y-Achse parallele Asymptote, Bei Parallelverschiebung des (x,y)-Systems auf M als neuer Nullpunkt mit den Transformationsgleichungen: x = X + 1 / (4*wurzel(2)) , y = Y - 1 / (4*wurzel(2)) bekommt c eine einfachere Gleichung in X,Y, nämlich. 4 * X * Y = 7 / 8, wie man leicht nachrechnet In einer Fortsetzung dieser Arbeit unterziehen wir die quadratische Form F (X,Y,Z) = 4 * X * Y - Z ^ 2 einer Hauptachsentransformation, und wir erhalten in einem weiteren neuen Koordinatensystem als Gleichung unserer Fläche: -1* x ' ^ 2 + 2* y ' ^ 2 - 2 * z ' ^ 2 = 9 / 8 Wir erkennen die Fläche als zweischaliges Hyperboloid. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Fortsetzung Rekapitulation: wir haben nachgewiesen, dass die gegebene Fläche zweiter Ordnung ( Quadrik ) einen Mittelpunkt M hat, indem wir den Mittelpunkt M der Normalhyperbel c , in welcher die Fläche die (x,y)-Ebene schneidet, bestimmten. Der Punkt M ist Symmetriezentrum sowohl von c als auch der gegebenen Fläche. Durch eine Parallelverschiebung des (x,y)-Koordinatensystems - neuer Nullpunkt in M - haben wir erreicht, dass die linearen Terme x und y der Gleichung wegfallen. In den neuen Koordinaten X,Y.Z lautet die Gleichung der Quadrik: 4 * X * Y - Z ^ 2 = 7 / 8. Zweiter Schritt Hauptachsentransformation der quadratischen Form F(X,Y,Z) = 4 * X * Y - Z ^ 2 Zuerst ermitteln wir die symmetrische Matrix A = (aik) , welche zu dieser quadratischen Form gehört: a11 , a22, a33 sind der Reihe nach die Koeffizienten der rein quadratischen Glieder X^2,Y^2,Z^2 also :a11 = a22 = 0 , a33 = - 1. a12 = a21 ist der halbe Koeffizient von X*Y; es gilt a12 = a21 = 2 a13 = a31 ist der halbe Koeffizient von Y*Z; es gilt a23 = a32 = 0 a23 = a32 ist der halbe Koeffizient von Z*X; es gilt a23 = a32 = 0 Damit ist die Matrix A definiert; wir bilden damit eine zweite Matrix B, mit deren Hilfe wir die drei Eigenwerte L1,L2 ,L3 der quadratischen Form F berechnen:; es gilt: B = A - L * E, wobei E die (3,3)-Einheitsmatrix ist und L den gesuchten Eigenwert L bezeichnet Die Elemente von B sind der Reihe nach: B11= - L , b12 = b21 = 2 , b22 = - L , b33 = - 1 - L , alle anderen bik sind null. Wir finden L als Nullstelle der Determinante der Matrix B: det (B) = 0 führt zunächst auf die charakteristische Gleichung (Säkulargleichung) : L^3 + L^2 - 4 * L - 4 = 0 Die Lösungen (Eigenwerte) sind :L1 = - 1 , L 2 = 2 , L 3 = - 2 Diese Zahlen erscheinen als Koeffizienten der rein quadratischen Glieder x ' ^ 2, y ' ^ 2 , z ' ^ 2, sodass die Gleichung der Quadrik nach vollzogener Hauptachsentransformation lautet: x ' ^ 2 + 2 * y ' ^ 2 - Hi Christian, Rekapitulation: wir haben nachgewiesen, dass die gegebene Fläche zweiter Ordnung ( Quadrik ) einen Mittelpunkt M hat, indem wir den Mittelpunkt M der Normalhyperbel c , in welcher die Fläche die (x,y)-Ebene schneidet, bestimmten. Der Punkt M ist Symmetriezentrum sowohl von c als auch von der gegebenen Fläche. Durch eine Parallelverschiebung des (x,y)-Koordinatensystems - neuer Nullpunkt in M - haben wir erreicht, dass die linearen Terme x und y der Gleichung wegfallen. In den neuen Koordinaten X,Y.Z lautet die Gleichung der Quadrik: 4 * X * Y - Z ^ 2 = 7 / 8. Zweiter Schritt Hauptachsentransformation der quadratischen Form F(X,Y,Z) = 4 * X * Y - Z ^ 2 Zuerst ermitteln wir die symmetrische Matrix A = (aik) , welche zu dieser quadratischen Form gehört: a11 , a22, a33 sind der Reihe nach die Koeffizienten der rein quadratischen Glieder X^2,Y^2,Z^2 also :a11 = a22 = 0 , a33 = - 1. a12 = a21 ist der halbe Koeffizient von X*Y; es gilt a12 = a21 = 2 a13 = a31 ist der halbe Koeffizient von Y*Z; es gilt a23 = a32 = 0 a23 = a32 ist der halbe Koeffizient von Z*X; es gilt a23 = a32 = 0 Damit ist die Matrix A definiert; wir bilden damit eine zweite Matrix B, mit deren Hilfe wir die drei Eigenwerte L1,L2 ,L3 der quadratischen Form F berechnen:; es gilt: B = A - L * E, wobei E die (3,3)-Einheitsmatrix ist und L den gesuchten Eigenwert L bezeichnet Die Elemente von B sind der Reihe nach: B11= - L , b12 = b21 = 2 , b22 = - L , b33 = - 1 - L , alle anderen bik sind null. Wir finden L als Nullstelle der Determinante der Matrix B: det (B) = 0 führt zunächst auf die charakteristische Gleichung (Säkulargleichung) : L^3 + L^2 - 4 * L - 4 = 0 Die Lösungen (Eigenwerte) sind :L1 = - 1 , L 2 = 2 , L 3 = - 2 Diese Zahlen erscheinen als Koeffizienten der rein quadratischen Glieder x ' ^ 2, y ' ^ 2 , z ' ^ 2, sodass die Gleichung der Quadrik nach vollzogener Hauptachsentransformation lautet: - x ' ^ 2 + 2 * y ' ^ 2 + 2 * z ' ^2 = 7 / 8 Diese Gleichung stellt ein zweischaliges Hyperboloid dar. Fortsetzung folgt. Bis dann ! H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 22:01: |
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Hi Elampe, Es folgen noch ein paar Schlussbemerkungen 1. Als Ergebnis der Hauptachsentransformation ermitteln wir Die Gleichung - x ' ^ 2 + 2 * y' ^ 2 - 2 * z ' ^ 2 = 7 / 8. Die allgemeine Gleichung eines zweischaligen Hyperboloids lautet: - x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 - z ^ 2 / c ^ 2 = 1. Somit gilt für unsere Fläche: a ^ 2 = 7 / 8 , b ^ 2 = 7 / 16 , c ^ 2 = 7 / 16 Dabei sind a und c die Halbachsen derjenigen Ellipse, welche von einer zur y ' - Achse senkrechten Ebene für y absolut > b aus der Fläche geschnitten wird. Uebrigens: Rotationsflächen entstehen nur, wenn zwei der Eigenwerte gleich sind ; dies trifft in unserem Fall nicht zu. 2. Die Transformationsmatrix T , wirksam beim Uebergang vom X,Y,Z - System zum x',y',z'-System, eine orthogonale Matrix, kann mit Hilfe der Eigenvektoren der Matrix A gewonnen werden Anschaulich: Die neue x'-Achse und die neue y'-Achse liegen in der (X,Y)-Ebene , gehen durch M und bilden mit der X-Achse den Winkel - 45° bezw. - 135 °. Die z'-Achse geht durch M und steht senkrecht zur (X,Y)-Ebene 3. Um den Typus und die Daten einer Fläche zweiter Ordnung zu ermitteln, gibt es schematische Verfahren, vergleichbar mit den abenteuerlichen Wegen bei der Ermittlung der Pflanzenarten mit Bestimmungsbüchern Die Auswahl ist gross, die Anzahl der Fehlerquellen ebenso Zur Verfügung stehen: I Eigentliche Flächen zweiter Ordnung Reelles Ellipsoid Imaginäres Ellipsoid Einschaliges Hyperboloid Zweischaliges Hyperboloid Elliptisches Parabololid Hyperbolisches Paraboloid II Uneigentliche Flächen zweiter Ordnung Reeller Kegel Imaginärer Kegel Elliptischer Zylinder Hyperbolischer Zylinder Parabolischer Zylinder III Zwei reelle verschiedene Ebenen Zwei zusammenfallende Ebenen Zwei imaginäre Ebenen Die allgemeine Gleichung einer Fläche hat zehn Koeffizienten; Der Freiheitsgrad bei einer Bestimmung ,z.B durch Punkte, ist daher neun, weil einer der Koeffizienten mit 1 normiert werden kann. So viel zu diesem spannenden Thema ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. . |
Elampe
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:27: |
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UI! Das nen ich ne wirklich umfassende Antwort. Den Namen "megamath" trägst du nicht zu unrecht. Danke! Elampe & ceejay |
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