Autor |
Beitrag |
Christian
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 14:00: |
|
Ich habe mal versucht zu beweisen, dass die Dreiecksungleichung auch für komplexe Zahlen gilt. Vielleicht kann ja mal einer meinen Beweis durchschauen und sagen, ob das als Beweis reicht. z=a+bi w=x+yi |z+w|<=|z|+|w| <=> sqrt((a+x)^2+(b+y)^2)<=sqrt(a^2+b^2)+sqrt(x^2+y^2) <=>a^2+2ax+x^2+b^2+2by+y^2<=a^2+b^2+2sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))+x^2+y^2 <=>ax+by<=sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2)) <=>a^2*x^2+2abxy+b^2*^2<=a^2*x^2+a^2*y^2+b^2*x^2+b^2*y^2 <=>0<=a^2*^2-2abxy+b^2*x^2 <=>0<=(ay-bx)^2 [Durch das Quadrat wird die rechte Seite immer >=0] Ich hoffe mal das stimmt soweit;) Jetzt würde mich noch interessieren,wie man das auf n Summanden verallgemeinert. (Sowohl für reelle Zahlen, als auch für dieses Beispiel hier mit den komplexen Zahlen) Den Beweis der Ungleichung für 2 reelle Zahlen kenne ich schon, also würde die Verallgemeinerung ausreichen. Vielen Dank schonmal im voraus MfG C. Schmidt |
Nobody
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 15:51: |
|
Bin mal kurz drübergeflogen. Bis darauf, dass du manchmal *^2 anstatt *y^2 (bzw. x^2) geschrieben hast, scheint es zu stimmen ! Also, im reellen hast du ja die Dreiecksungleichung: |a+b|<= |a|+|b| Dann gilt für |(a+b)+c|<=|a+b|+|c|<=|a|+|b|+|c| |(a+b+c)+d| <=|a+b+c|+|d|<=|a+b|+|c|+|d|<|a|+|b|+|c|+|d| Für n Summanden machst du das immer so fort. Um´einen "schönen" Beweis zu haben, musst du das mit vollständiger Induktion zeigen ! Im komplexen geht das vollkommen analog ! Grüsse Nobody |
Christian
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 16:38: |
|
Vielen Dank für die Antwort. Aber wie zeigt man das mit vollständiger Induktion?? MfG C. Schmidt |
|