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Heinz Hoffmann
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 12:50: |
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Wie geht man technisch vor, um bei einer Funktionsgleichung f(x)= Irgendein oder mehrere Terme von x a) die Stetigkeit oder Nicht-Stetigkeit zu belegen Probieren geht immer, aber gibt es eine Regel b) Wie kann man rechentechnisch eine Monotonie beweisen?. Ich denke, in dem man keine Extrema findet, über die Ableitungsrechnungen. Ist das ok? c) Ist es richtig, dass man eine Symmetrie immer dann ausschliessen kann, wenn gerade und ungerade Potenzen von X in den Termen zusammen vorkommen, mit anderen Worten; Sind rein geradzahlige Potenzen immer mit Spiegelsymmetrie und rein ungeradzahlige Potenzen immer mit Punktsymmetrie verbunden? Besten Dank für eine Antwort Heinz |
Andreas
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 15:19: |
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Hallo Heinz! a) Will man eine Funktion auf Stetigkeit an einem bestimmten Punkt x0 überprüfen, so bildet man die Grenzewerte fr=lim f(x0+h) h->0 fl=lim f(x0-h) h->0 Falls gilt: fr=fl=f(x0), dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig b) Du hast recht, hat eine Funktion auf dem Intervall [a;b] keine Extrema, dann ist sie auf diesem Intervall streng monoton. Für f'(x)<0 streng monoton fallend, für f'(x)>0 streng monton steigend. c) Mit deiner zweiten Aussage hast du recht. Eine Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist stets symmetrisch zur y-Achse (z.B. 7x^6+4x^2+5, wobei die Konstante 5 auch einen geraden Exponenten hat, denn es gilt: 5=5*x^0) Umgekehrt sind reine ungerade Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung (z.B. 5x^5-2x^3-4x) Beweisen lässt sich das so: Symmetrie zur y-Achse: f(-x)=f(x) Symmetrie zum Ursprung: f(-x)=-f(x) (kann man sich z.B. an den Funktionen x² bzw. x³ klarmachen). Bei gemischten Exponenten lässt sich eine Symmetrie nicht so einfach ausschließen. Einfaches Beispiel: x³ ist sicher punktsymmetrisch, x³+1 aber auch. Bei gemischten Exponenten ist sowohl eine Symmetrie zu einer anderen Achse als der y-Achse, sowie eine punktsymmetrie zu einem anderen Punkt als dem Ursprung. Man muss an Hand des Schaubildes eine Vermutung aufstellen, und diese dann beweisen. Allgemeine Achsensymmetrie beweist man mit f(x0+h)=f(x0-h) Allgemeine Punktsymmetrie ist etwas aufwendiger: Soll f(x) symmetrisch sein zu P(x0|y0), muss gelten: 2*y0=f(x0+h)+f(x0-h) Bei Kurvendiskussionen wird meist nur die Untersuchung auf Grundsymmetrien (zur y-Achse oder zum Ursprung) verlangt, ansonsten steht es extra dabei. Ciao, Andreas |
Heinz Hoffmann
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 20:11: |
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Hallo Andreas, > a) > Will man eine Funktion auf Stetigkeit an einem > bestimmten Punkt x0 überprüfen, so bildet > man die Grenzewerte > fr=lim f(x0+h) > h->0 > > fl=lim f(x0-h) > h->0 > Falls gilt: fr=fl=f(x0), dann ist die Funktion > an dieser Stelle stetig Ich verstehe noch nicht, wie man technisch den Grenzwert bildet. Dazu muss man doch die erste Ableitung bilden oder wie geht man vor um den Grenzwert zu bestimmen? Wieso heißen die fr und fl? Und was bedeutet es die Stetigkeit einer Funktion in EINEM bestimmen Punkt (in deiner Formulierung der Punkt x0) zu bestimmen? Stetigkeit bedeutet doch, dass eine Funktion nicht unterbrochen ist. Aber wieso berechnet man dann das ganze in EINEM Punkt?? > b) > Du hast recht, hat eine Funktion auf dem > Intervall [a;b] keine Extrema, > dann ist sie auf diesem Intervall streng > monoton. > Für f'(x)<0 streng monoton fallend, >für f'(x)>0 streng monton steigend. > > Ja, und wenn f'(x) dagegen =0 ist, sind Extremwerte vorhanden. Aber wie geht man auch hier rechnerisch vor? Muss man die erste Ableitung null setzen und wenn dann keine Werte rauskommen ist die Funktion monoton? Wenn ja, wie bestimmt man dann letztendlich ob sie steigend oder fallend monoton ist? Vor allem wenn sich das Ganze nicht nur auf ein bestimmtes Intervall [a;b], sondern auf die Ganze Funktion von unendlich bis -unendlich bezieht?! Danke für die Tipps, Heinz |
Andreas
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 22:13: |
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Hallo Heinz! zu a) Die Untersuchung auf Stetigkeit funktioniert ohne die Ableitung, denn die Stetigkeit einer Funktion ist die Vorbedingung für ihre Differenzierbarkeit. Was die Stetigkeit in einem Punkt betrifft: Ob ich eine Funktion auf ganz D auf stetig ist, oder ob ich ihre Stetigkeit in einem Punkt überprüfe sind zwei verschiedene Fragestellungen. Wenn die Aufgabe heißt: Überprüfe die Funktion auf Stetigkeit, und du findest einen Punkt, an dem sie nicht stetig ist, dann kannst du über sie sagen: sie ist nicht stetig. Es könnte z.B. aber auch gefragt sein: Prüfe ob die Funktion an der Stelle x0=2 stetig ist. Ich mach mal ein Beispiel: f(x)=|x-4| (| | als Betragsstriche) Überprüfe auf Stetigkeit auf ganz D Erstens: Betragsfrei schreiben f(x)=x-4 für x>=4 (größergleich 4) f(x)=-(x-4)=-x+4 für x<4 Zweitens: Feststellen, an welchen Punkten die Funktion unstetig sein könnte. Es gibt einen Satz, dessen Beweis ich allerdings nicht kenne, der besagt, dass alle ganzrationalen Funktionen auf ganz D stetig sind. Wir brauchen also nur "verdächtige" Punkte zu untersuchen. Hier sticht sofort die Stelle x0=4 ins Auge, denn das ist quasi die "Nahtstelle" zwischen den zwei Funktionen x-4 und -x+4 Grenzwerte bilden: Zur besseren Anschauung, zeichne dir die Funktion (bzw. die zwei Teilfunktionen) einmal. Drittens: Grenzwerte bilden: Und zwar den linksseitigen Grenzwert fl, bei Annäherung an die mögliche Unstetigkeitsstelle x0=4 von links (x<4) und den rechtsseitigen Grenzwert fr bei Annäherung von rechts (x>4). Also: fl=lim f(4+h)=lim[(4+h)-4]= lim h =0 h->0 h->0 h->0 Ich setze hierbei für x 4+h in die Teilfunktion, die für x>=4 definiert war, ein. Dann habe ich vereinfacht, und dann h gegen 0 gehen lassen, indem ich, mathematisch etwas salopp gesagt, für h 0 eingesetzt. Falls das mal nicht gehen sollte (z.B. weil h im Nenner steht, muss der Bruch ggf. vorher umgeformt werden. fr=lim f(4-h) =lim[-(4-h)]+4=lim h=0 h->0 h->0 h->0 Hier muss man nun die Teilfunktion verwenden, welche für x<4 definiert ist. Es gilt also schon einmal fr=fl Viertens: Zeigen, dass gilt fr=fl=f(x0) Dazu rechen wir einfach f(4) aus Wir nehmen dazu die Teilfunktion, die für x>=4 definiert ist. f(4)=4-4=0 Fünftens: Schlussfolgerung Da die Bedingung fr=fl=f(x0) erfüllt ist, ist die Funktion f(x) an der einzigen Stelle, an der sie möglicherweise unstetig sein könnte, stetig. Also ist die Funktion f(x)=|x-4| auf ganz D stetig. Du musst also die Funktionen in Teilintervalle aufteilen (falls diese nicht schon vorgegeben sind) und dann die "Nahtstellen" zwischen den Teilfunktionen überprüfen. b) Wierum richtig. Du setzt f'(x)=0 und prüfst, ob es Extrema gibt. Beispiel: f(x)=x³-3x f'(x)=3x²-3 f''(x)=6x (2.Ableitung zur Kontrolle ->hinreichende Bedingung) f'(x)=0 setzen: 3x²-3=0 x²=1 2 Lösungen: x1=1, x2=-1 f''(1)=6>0 ==>Tiefpunkt T(1|-2) f''(-1)-6<0 ==>Hochpunkt H(-1|2) Es gibt 2 Extrema. Andererseits lässt sich sagen: Außer an den Stellen x1=1 und x2=-1 verläuft die Funktion streng monoton. Damit lässt sie sich in drei sogenannte Monotonieintervalle zerlegen: I1=]-unendlich;-1[ I2=]-1;1[ I3=]1;+unendlich[ Die nach außen geöffneten Klammern heißen dabei, dass bei ]a;b[ die Punkte a und b selbst nicht zum Intervall gehören, sondern nur die "dazwischen" liegenden Punkte. Nun prüfe ich das Vorzeichen von f'(x) in den jweiligen Intervallen. Dazu kann ich einfach einen beliebigen x-Wert, der in diesem Interval liegt, in f'(x) einsetzen, denn jede Funktion, und somit auch f'(x), können ihr Vorzeichen nur an einer Nullstelle ändern. Erstes Intervall: I1=]-unendlich;-1[ Ich setze für x -2 ein, denn -2 liegt in diesem Intervall. f'(x) war 3x²-3 f'(-2)=3*4-3=9, das ist positiv. Somit ist f(x) auf dem Intervall I1 streng monoton steigend. Zweites Intervall I2=]-1;1[ Hier ist es am einfachsten x=0 zu wählen: f'(0)=-3 Das ist negativ also ist die Funktion auf I2 streng monton fallend. Drittes Intervall: I3=]1;+unendlich[ Ich nehme x=2 f'(2)=3*4-3=9 Das ist positiv, somit ist f(x) auf I3 streng monoton steigend. Eine Funktion als Ganzes kann man nur als streng monoton bezeichnen, wenn sie auf ganz D keinen Extremwert hat. Ob steigend oder fallend überprüfe ich dann wieder, indem ich diesmal einen ganz beliebigen x-Wert in f'(x) einsetze. x=0 ist oft recht einfach. Wie schon gesagt: Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt. ob steigend oder fallend. Ciao, Andreas |
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