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Steffi (Mausemaus)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 13:12: |
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Beweise mit Hilfe des Skalarprodukts für ein Dreieck ABC: a.) Ist Vektor a orthogonal zu Vektor b, so gilt a²+ b²= c² (Satz des Pythagoras) b.) Ist a² + b²= c², so gilt vektor a ist orthogonal zu vektor b (Kehrsatz) Wie soll das gehen kann mir jemand helfen?? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 12:18: |
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Hi Steffi, Im (vorläufig) beliebigen Dreieck ABC seien die drei Vektoren u,v,w der Reihe nach die Seitenvektoren; es sei Vektor AB = u , Betrag c Vektor BC = v , Betrag a Vektor CA = w , Betrag b Die Summe u + v + w stellt offensichtlich den Nullvektor o dar; es gilt: u + v + w = o diese Gleichung multiplizieren wir der Reihe nach skalar mit u , v und w Wir erhalten drei Gleichungen; die Summanden auf den linken Seiten stellen lauter Skalarprodukte dar, rechts steht jeweils die skalare Null. Wir erhalten: u.u + u.v + u.w = 0 v.u + v.v + v.w = 0 w.u + w.v + w.w = 0 Nun gilt bekanntlich: u.u = c ^ 2, v.v = a ^ 2 , w-w = b ^ 2 , denn das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat des Betrages dieses Vektors Setzen wir dies ein, so kommt: c^2 + u.v + u.w = 0 v.u + a^2 + v.w = 0 w.u + w.v + b^2 = 0 Nun addieren wir die zweite und dritte Gleichung; von dieser Summe subtrahieren wir die erste Gleichung Es entsteht: v.u + a^2 + v.w + w.u + w.v + b^2 - c^2 - u.v - u.w = 0 Einige Terme heben sich weg; es bleibt: a^2 + b^2 - c^2 + 2 * v.w = 0......................................® Die Vorbereitungen sind zu Ende Die beiden Sätze lassen sich unmittelbar beweisen (I) Voraussetzung: a^2 + b^2 = c^2 ; Daraus folgt nach ®: v.w = 0 ,: Die Vektoren v und w stehen aufeinander senkrecht, das Dreieck ist bei C rechtwinklig (II) Voraussetzung: rechter Winkel bei C , also v.w = 0 Daraus folgt nach ® sogleich a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 q.e.d. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 12:52: |
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Hi Steffi, In der Formel ® ist der Kosinussatz verborgen; wir erhalten eine vektorielle Herleitung dieses Satzes als willkommene Zugabe. Das Skalarprodukt v.w ist gleich dem Produkt der Absolutbeträge der Vektoren v und w und dem Kosinus des Zwischenwinkels delta der Vektoren v und w Absolutbetrag v = a Absolutbetrag w = b delta = 180° - gamma, wobei gamma den Innenwinkel des Dreiecks bei der Ecke C darstellt Somit nach ® : c ^ 2 = a^2 + b ^ 2 + 2 * a* b* cos(delta) , somit Kosinussatz: c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2* a * b * cos (gamma) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° da die Kosinuswerte der beiden Supplementärwinkel entgegengesetzt gleich sind. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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