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Beitrag |
    
Kathleen Drawer (Kato)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 15:44: | 
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Hallo ich bins mal wieder!
Und zwar hab ich ne Frage: Es gibt genau zwei Kugeln mit dem Radius 4 welche die Ebene E: 2x+y+2z= 8 berühren und deren Mittelpunkt auf der Geraden durch P(0/0/1) und Q (1/2/2) liegen.Bestimme die Mittelpunkte dieser beiden Kugeln und ihre Berührpunkte auf E.
So das war die Aufgabe ; jetzt hab ich mir überlegt das man ja den Schnittpunkt der Ebene und der Geraden berechnen kann und das als Schnittpunkt nehmen kann .Geht das ; wenn ja wie und vor allem wie mache ich dann weiter?
Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Vielen Dank auf jedenfall schon mal im Vorraus!
Eure Kato! |
Petra (Petra)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 21:28: |
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Ich hab mir das grad mal überlegt und bin zu keiner Lösung gekommen. Wenn es geht, dann ist es ziemlich kompliziert. Ansich ist die Rechnung aber recht einfach:
Beide Kugeln sollen die Ebene berühren und Radius 4 haben. Das heißt, die Kugelmittelpunkte haben als Abstand von der Ebene 4. Abstand Punkt-Ebene berechnet man mit der HNF:
|(2x+y+2z-8)/Wurzel (4+1+4)| = 4
Für x, y und z musst du die Koordinaten des Mittelpunktes einsetzten, die du aus der Geradengleichung bekommst: M(s/2s/1+s)
Wenn du das Ganze durchrechnest, bekommst du für s1=3 und für s2=-1
M1 ist dann (3/6/4) und M2(-1/-2/0) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 21:50: |
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Hi Kathleen ,
1. Die Mittelpunkte M1 und M2 der beiden gesuchten Kugeln
k1,k2 liegen je auf einer Parallelebene E1,E2 zu E im Abstand
4 zur gegebenen Ebene E.
2 .M1 und M2 sind daher die Durchstosspunkte der Geraden g = PQ
mit diesen Parallelebenen.
3. Legt man durch M1 und M2 je die zu E senkrechten Geraden
s1 und s2, so erhält man im Schnittpunkt von s1 mit E den
Berührungspunkte B1 der ersten Kugel k1 mit E und im
Schnittpunkt von s2 mit E den Berührungspunkt B2 der zweiten
Kugel k2 mit E
Durchführung
Ermittlung der Koordinatengleichungen der Parallelebenen
im Abstand 4 von E mit Hilfe der Hesseschen Formel
Die Normalform der Ebene E lautet :
(2 * x + y + 2 * z - 8 ) / 3 = 0................................................................(NF)
Die drei im Nenner (Hessescher Divisor H) ist die Quadratwurzel
aus der Summe der Quadrate der Koeffizienten 2,1,2 von x , y , z
in der Ebenengleichung,
also H = wurzel( 2^2 +1^2 +2^2 ) = wurzel (9) = 3
Setzt man in (NF) für x,y.z die Koordinaten irgend eines Punktes
A ein, so stellt die linke Seite in NF den Abstand des Punktes A
von der Ebene E dar.
Nun postulieren wir, dass dieser Abstand für alle möglichen
Punkte 4 sei ;dann erhalten wir die eine Parallelebene E1,
für minus 4 erhalten wir die andere Parallelebene E2
Das geht so:
Bedingung für E1:Abstand (A,E) = 4
(2x+y+2z-8)/3 = 4,daraus:
E1: 2x + y + 2z = 20
Bedingung für E2:Abstand(A,E) = - 4
(2x + y +2z)/3 = - 4 ,daraus
E2 2x + y + 2z = - 4.
Parametergleichung von g = PQ, Parameter t
(der Vektor PQ = {1;2;1} ist ein Richtungsvektor von g )
x = 0 + t , y = 0 + 2 t , z = 1 + t..................................................................(G)
Setzen wir diese Beziehungen für x,y,z in die Ebenengleichung
für E1 ein, so erhalten wir:
6 t = 18 ,also t = 3
Dies gibt mit (G) den Mittelpunkt M1(3/6/4)
Setzen wir die Werte x,,y.z aus (G) in die Gleichung E2 ein,
so kommt t = -1 .
Dieser Wert liefert den Mittelpunkt M2(-1/-2/ 0)
Die Gleichung der Senkrechten durch M1 zu E mit s als Parameter
lautet:
x =3 + 2 s, y = 6 + s , z = 4 + 2 s
Schnitt mit E (s = - 4 / 3 ) gibt den Berührungspunkt
B1 ( 1/3; 14/3; 4/3 ).
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Analog findest Du mit s = 4 /3 in der Geraden durch M2
x = -1 + 2 s , y = - 2 + s , z = 0 + 2 s den Berührungspunkt
B 2 ( 5 / 3 ; - 2 / 3; 8 / 3 )
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 07:27: |
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Hallo allerseits,
Im Anschluss an die vorhergehende Aufgabe
und im Zusammenhang damit (gleiche Daten)
möchte ich eine hübsche Zusatzaufgabe stellen,
die sicher mit Genuss gelöst werden wird.
Der Rotationszylinder mit der Geraden g = PQ .
P(0/0/1),Q(1/2/2) und dem Radius R = 4 schneidet
die Ebene E: 2 x + y + 2 z = 8 in einer Ellipse.
Die in der letzten Aufgabe ermittelten Berührungspunkte
B1 (1/3 ; 14 / 3 ; 4/3 ) und B2 (5/3 ; -2/3 ; 8/3 ) sind nach
Dandelin die Brennpunkte der Ellipse.
Man berechne den Flächeninhalt A der Ellipse sowie das
Volumen V desjenigen Teils des Zylinders, der zwischen
den Ebenen
E1: 2 x + y + 2 z = 20 und
E2: 2 x + y + 2 z = - 4 liegt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 07:45: |
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Hallo allerseits,
Ergänzung betr. Zylinderachse !
Im Anschluss an die vorhergehende Aufgabe
und im Zusammenhang damit (gleiche Daten)
möchte ich eine hübsche Zusatzaufgabe stellen,
die sicher mit Genuss gelöst werden wird.
Der Rotationszylinder mit der Geraden g = PQ .
P(0/0/1),Q(1/2/2) ALS ACHSE und dem Radius R = 4
Schneidet die Ebene E: 2 x + y + 2 z = 8 in einer Ellipse.
Die in der letzten Aufgabe ermittelten Berührungspunkte
B1 (1/3 ; 14 / 3 ; 4/3 ) und B2 (5/3 ; -2/3 ; 8/3 ) sind nach
Dandelin die Brennpunkte der Ellipse.
Man berechne den Flächeninhalt A der Ellipse sowie das
Volumen V desjenigen Teils des Zylinders, der zwischen
den Ebenen
E1: 2 x + y + 2 z = 20 und
E2: 2 x + y + 2 z = - 4 liegt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 13:35: |
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Hi,
Ich bin gebeten worden , die Lösung zur Ellipsenaufgabe
ins Board zu stellen
Ich komme diesem Wunsch gerne nach.
Die Halbachsen der Ellipse seien a und b mit b < a
Man findet sofort b = R = 4: die kleine Halbachse stimmt
mit dem Radius des Rotationszylinders überein.
Die grosse Halbachse a berechnen wir auf zwei Arten
(I)
Da die Berührungspunkte B 1 und B2 der beiden Kugeln
Mit der Schnittebene nach Dandelin mit den Brennpunkten
der Schnittellipse übereinstimmen, ergibt sich aus ihrem
halben Abstand gerade die lineare Exzentrizität e der Ellipse.
Somit e = ½ * abst (B1 B2 )
Wir berechnen die Koordinaten des Verbindungsvektors
v = B1 B2 = {4/3; - 16/3 ; 4/3} = 4/3 * {1,-4;1}
Der Betrag dieses Vektors ist 4/3*wurzel(18) = 4* wurzel(2)
Somit erhalten wir e = 2*wurzel(2=
Zwischen den beiden Halbachsen a,b und der linearen Exzentrizität
besteht die bekannte Beziehung
a^2 = e^2 + b^^2
In unserem Fall somit_
a^2 = 8+16 = 24 , also a = 2* wurzel(6).
(II)
Sei phi der Winkel zwischen der Zylinderachse g und einer
Ebenennormalen der Schnittebene E.
Dann gilt für die grosse Halbachse a:
a = b / cos (phi)
wie man in einem Achsenschnitt durch den Zylinder, der
senkrecht zur Schnittebene geführt wird, erkennt.
Richtungsvektor v von g: v = {1;2;1}
Normalenvektor n von E: n = {2;1;2}
Kosinus des Winkels phi aus dem Skalarprodukt und dem
Produkt der Beträge der beiden Vektoren:
cos (phi) = v * n / [ abs(v) * abs (n) ] = 6 / [wurzel(6) * 3 ] =
wurzel (6) /3, mithin:
a = 12 * wurzel(6 )/ 6 = 2*wurzel(6) wie unter (I)
Endergebnis:
Flächeninhalt A der Ellipse;
A = Pi* a * b = 8 * Pi * wurzel(6)
Gesuchtes Volumen V mit der Formel Grundfläche * Höhe:
V = A* 8 = 64 * Pi * wurzel(6).
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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