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Florian (zenski)
Mitglied Benutzername: zenski
Nummer des Beitrags: 11 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 08:29: |
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Ich brauche die Hilfe bei Folgenden Aufgaben. Wenn es geht, mit einer möglichst ausführlichen Erklärung, damit ich diese nachvollziehen kann. Bestimme eine Funktion der Form f(x) -> ax^3 + bx^2 + cx + d die im Punkt (-1|6) einen Hochpunkt und in (0|4) einen Wendepunkt hat. UND Beweise, dass für jede ganzrationale Funktion 2. Grades die Stelle a des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung der Mittelpunkt des gewählten Intervalls ist. Danke für Eure Hilfe! |
SquareRuth (squareruth)
Neues Mitglied Benutzername: squareruth
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 12:31: |
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Hi Florian, Ausgangspunkt bei solchen Aufgaben ist immer die allgemeine Funktiongleichung; d.h. bei Funktionen 3. Ordnung f(x) = ax³ + bx² + cx +d f'(x) = 3ax² + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b Jetzt müssen die Bedingungen aufgestellt werden, um die Koeffizienten a,b,c und d zu bestimmen: 1. Bedingung Der Punkt (-1; 6) liegt auf dem Graphen der Funktion; d.h. (-1;6) in f(x) einsetzen f(-1) = -a + b – c + d = 6 2. Bedingung Der Punkt (0;4) liegt auf dem Graphen der Funktion; d.h. (0;4) in f(x) einsetzen f(0) = d = 4 Damit ist der Koeefizient d schon bestimmt: d=4 3. Bedingung Hochpunkt bei (-1;6); d.h. bei x=-1 hat f'(x) den Wert 0. f'(-1) = 3a –2b + c = 0 4. Bedingung Wendepunkt bei (0;4); d.h. bei x=0 hat f''(x) den Wert 0 f''(0) = 2b = 0 Damit ist auch der Koeffizient b schon bestimmt: b=0 aus (1) -a + b – c + d = 6 mit b=0 und d=4 -a – c + 4 = 6 (5) a = - c - 2 aus (3) 3a – 2b + c = 0 mit b=0 3a + c = 0 (6) 3a + c = 0 (5) in (6) eingesetzt 3(-c-2) + c = 0 -2c = 6 c = -3 in (6) eingesetzt 3a – 3 = 0 a = 1 Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also f(x) = x³ - 3x + 4 Für Deine 2. Aufgabe habe ich leider noch keine zündende Idee. Gruß, SquareRuth |
Ferdi Hoppen (tl198)
Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 44 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 12:46: |
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ganz fix gehts! f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d f'(x)=3ax^2+2bx+c f''(x)=6ax+2b Vier Bedingungen sind nötig: die im Punkt (-1|6) einen Hochpunkt und in (0|4) einen Wendepunkt hat. => I)f(-1)=6, II)f'(-1)=0, III)f(0)=4, IV)f''(0)=0 => Vier Gleichungssysteme: I)a*-1^3+b*-1^2+c*-1+d=6 II)3a*-1^2+2b*-1+c=0 III)a*0+b*0+c*0+d=4 IV)6a*0+2b=0 => Lösung des Systems: a=1, b=0, c=-3, d=4. Die Funktion lautet x^3-3x+4. Leite noch mal ab und überprüfe auf extrema und wendepunkte ob dies auch stimmt. Dies ist die Probe (sie wird stimmen). mfg tl198
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