Autor |
Beitrag |
Aequitas
| Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 16:24: |
|
Hallo zusammen, nicht mehr lange und die Abitur- Prüfung steht vor der Tür. Daher bitte ich um Lösungen der folgende Übungs- Aufgaben, wenn möglich mit kurzer Erklärung. Vielen Dank im Voraus! 1.) Um eine Kugel mit gegebenen Radius r soll ein Kreiskegel mit kleinstem Volumen gelegt werden. Berechne die Maße des Kreiskegels! 2.) Eine Darlehensnehmer, der ein Darlehen in Höhe von 240.000,- DM zu einem Zinssatz von 6% und mit 1% Tilgung aufgenommen hatte, löst seine Restschuld nach 10 Jahren durch ein neues Darlehen, das mit 4,5% verzinst und mit 1% getilgt wird, ab. - Berechne die ursprüngliche Annuität, - die Restschuld nach 10 Jahren, - die Annuität des neuen Darlehens, - berechne die Laufzeit des neuen Darlehen - Tilgungsplan |
Rainer Müller
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 00:43: |
|
Hallo Habe nur Lust auf 1.): Leider kann ich keine Zeichnung übertragen, um anzuzeigen welche Längen welchen Buchstaben haben. Sagen wir, der Radius der gegebenen Kugel sei r und der Radius des Kegels sei R, seine Höhe h. Zeichnet man einen Querschnitt durch die Mitte des Kegels - also ein gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe h und der Grundseite(Basis) 2*R - und auch den Inkreis (mit Radius r), und zum Inkreis die kürzesten Verbindungen zu den Seiten des Dreiecks, dann erkennt man 1. ein grosses rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten R und h (die Hypotenuse ist die Seitenlinie des Kegels) 2. ein kleines rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h-r und den Katheten r und s (wobei s das Stück auf der Seitenlinie des Kegels von der Spitze bis zum Schnittpunkt einer Winkelhalbierenden ist). Nun gilt r^2+s^2=(h-r)^2 oder s^2=(h-r)^2-r^2=h^2-2*h*r+r^2-r^2, also s^2=h^2-2*h*r Andererseits haben die beiden genannten Dreiecke ausser dem rechten Winkel noch die Hälfte des Winkels bei der Spitze gemeinsam, sind also ähnlich. Deswegen darf man den Strahlensatz anwenden: R/h=r/s oder R=h*r/s Quadrieren ergibt R^2=h^2*r^2/s^2 Setzt man da s^2=h^2-2*h*r ein, dann kriegt man R^2=h^2*r^2/(h^2-2*h*r) Die ganze Mühe war nötig, um in der Formel für das Volumen des Kegels : V(R,h)=1/3*pi*R^2*h eine Variable mit der anderen auszudrücken, um in V nur noch z.B. h drin zu haben: V(h)=1/3*pi* h^2*r^2/(h^2-2*h*r) *h V(h)=1/3*pi*r^2* h^3*/(h^2-2*h*r) oder (kürzen mit h) V(h)=1/3*pi*r^2*h^2/(h-2*r) V(h)=c*h^2/(h-2*r) mit der Konstanten c=1/3*pi*r^2 (Der Buchstabe r steht ja für den Radius der gegebenen Kugel, ist also eine Konstante in V(h).) Nun leite V(h) zweimal ab: V'(h)=c* [(h^2-4*h*r)/(h-2*r)^2] oder V'(h)=c* [h*(h-4*r)/(h-2*r)^2] V'(h)=0 liefert h=4*r. V'(h) hat ausserdem dasselbe Vorzeichen wie (h-4*r), denn alles andere ist positiv. Also gibt es einen Vorzeichenwechsel bei 4*r, und zwar von minus nach plus; deswegen liegt ein (relatives) Minimum vor (kleinstmöglich). Jetzt muss nur noch der Radius R des Kegels berechnet werden: Der Strahlensatz ergab R=h*r/s oder R^2=h^2*r^2/s^2=h^2*r^2/(h^2-2*h*r); setze h=4*r ein: R^2=16*r^2*r^2/(16*r^2-2*4*r*r) R^2=16*r^4/(8*r^2)=2*r^2 Also R=wurzel(2)*r und h=4*r ---------------------------- |
aequitas
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 19:35: |
|
Dankeschön für die Lösung der Aufgabe 1.) Falls jemand die 2.) Aufgabe berechnen könnte, wäre dies sehr nett! *Ps. Wie werden eigentlich die www.x4u.de - Angebote finanziert?! Super Service!!! |
|