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Friedemann22
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:25: |
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Bestimmen sie die Gleichungen der vier Kreise, welche die drei Geraden g, h und i berühren. g: (-1)*x1 + 2*x2 = 4 h: (-1)*x1 - 2*x2 = 4 i: 2*x1 + x2 = 7 Vielen Dank im voraus |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 08:37: |
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Hi Friedemann, Bei Deiner Aufgabe handelt es sich darum, den Inkreis ko und die drei Ankreise ka, kb, kc eines Dreiecks ABC zu ermitteln. Wir bestimmen zuerst die Ecken dieses Dreiecks: A sei der Schnittpunkt der gegebenen Geraden b , c b: - x - 2 y = 4 , c: 2 x + y = 7 ; man findet durch Auflösung nach x , y : A ( 6 / -5 ) B sei der Schnittpunkt der gegebenen Geraden c, a : c : 2 x + y = 7 , a: - x + 2 y = 4; man findet: B ( 2 / 3 ) C sei der Schnittpunkt der gegebenen Geraden a , b : a: - x + 2 y = 4 , b : - x - 2 y = 4; man findet: C (- 4 / 0 ) Empfehlung: Trage zur Kontrolle alle gegebenen Daten und die Zwischenresultate in ein Koordinatensystem ein (Einheit 1 cm). Dies hilft Dir auch, eine konkrete Vorstellung der Aufgabe zu gewinnen und fördert die Anschaulichkeit der einzelnen Situationen. Im nächsten Schritt bestimmen wir alle Halbierenden der Dreieckswinkel alpha , beta , gamma und der zugehörigen Aussenwinkel des Dreiecks. wA ist die Halbierende von alpha bei der Ecke A, w'A die Halbierende des Aussenwinkels bei A. Bekanntlich stehen diese beiden Winkelhalbierenden aufeinander senkrecht ; analoges gilt für wB, w'B, wC,w'C Um die Gleichungen der Winkelhalbierenden zu erhalten, setzen wir die Hesse-Normalformen der gegebenen Seitengeraden a, b , c ein, da eine Winkelhalbierende die geometrische Eigenschaft hat, dass ein laufender Punkt auf ihr von den Schenkeln gleiche oder entgegengesetzt gleiche Abstände hat. 1.Ermittlung von wB und w'B Gleichsetzung der Abstände eines Punktes P(x/y) von den Seitengeraden a und c a in Normalform: ( - x + 2 y - 4 ) / wurzel(5) = 0 Die linke Seite stellt den Abstand des Punktes P(x/y) von a dar. c in Normalform: ( 2x + y -7 ) / wurzel (5) = 0 Die linke Seite stellt den Abstand des Punktes P(x/y) von c dar Bei der Gleichsetzung dieser Abstände fällt wurzel(5) weg, und es bleibt: - x + 2y - 4 = 2x + y - 7 oder 3x - y = 3 als Gleichung der Halbierende wB des Innenwinkels bei B Bitte diese Gerade sofort einzeichnen ! w'B erhält man ,indem bei der Gleichsetzung der Abstände das Vorzeichen auf einer Seite der Gleichung geändert wird. Somit: - x + 2y - 4 = - 2x - y + 7 oder x + 3 y = 11 (einzeichnen !) Die Geraden wB und w'B stehen tatsächlich aufeinander senkrecht. 2.Ermittlung von wC und w'C Normalform von a: siehe Punkt 1. Normalform von b : ( - x - 2y - 4) / wurzel(5) = 0 Gleichsetzung der Abstände des Punktes P(x / y) von a und b (- x + 2y - 4) / wurzel(5) = ( -.x - 2 y - 4 ) / wurzel(5) , daraus: y = 0 : die x-Achse ist die Winkelhalbierende wC ! Dazu steht die durch C (- 4 / 0 ) gehende Gerade x = - 4 senkrecht und stellt daher w'C dar. 3.Ermittlung von wA und w'A Resultat : wA: y = - x + 1 , w'A : y = x - 11 Diese beiden Geraden stehen ,wie es sein muss , aufeinander senkrecht und gehen durch den Punkt A(6/-5). Weiteres Vorgehen Der Schnittpunkt der Innenwinkelhalbierenden wB und wC ist der Mittelpunkt Mo des Inkreises ko Man erhält mit Hesse den Radius ro dieses Kreises. Ergebnis: Mo(1 / 0) , ro = wurzel(5) Die Mittelpunkte Ma, Mb, Mc und die Radien ra,rb,rc der Ankreise ergeben sich so: Ma als Schnittpunkt der Geraden w'B und w'C, Radius ra mit Hesse als Abstand des Punktes Ma von der Geraden a. usw. Ergebnisse in einer Fortsetzung. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 15:28: |
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Hi Friedemann, Motto: repetitio est mater studiorum ! Wir wiederholen die wichtigsten Ergebnisse des ersten Teils a) Eckpunkte des Dreiecks:A(6/-5) , b(2/3), C (-4/0) b) Die Hesseschen Normalformen der Geradengleichungen lauten für a = BC : (- x + 2y - 4 ) / wurzel(5) = 0 für b = CA : (- x - 2y - 4 ) / wurzel(5) = 0 für c = AB : (2 x + y - 7 ) / wurzel(5) = 0 c) Die Gleichungen der Winkelhalbierenden bei der Ecke A : Innenwinkelhalbierende wA : y = - x + 1 Aussenwinkelhalbierende w'A: y = x - 11 Ecke B : Innenwinkelhalbierende wB : 3x - y = 3 Aussenwinkelhalbierende w'B : x + 3y = 11 Ecke C : Innenwinkelhalbierende wC : y = 0 Aussenwinkelhalbierende: w'C : x = - 4. d) Inkreismittelpunkt Mo als Schnittpunkt von wB und wC Resultat M (1/0) Radius ro des Inkreises : setze indie Normalform von a die Koordinaten von Mo ein; es kommt: ro = wurzel(5). Somit lautet die Gleichung des Inkreises: ( x - 1 ) ^ 2 + y ^ 2 = 5 . Weiter im Text: 1) Der Ankreis ka berührt unter anderem die Seite a ; der Mittelpunkt Ma ergibt sich als Schnittpunkt der Halbierenden w'B und w'C: Ma (- 4 / 5 ) . Den Radius erhält man mit Hesse als Abstand des Punktes Ma von a: ra = 2 * wurzel(5) Gleichung von ka: ( x + 4 ) ^ 2 + ( y -5 ) ^ 2 = 20. 2) Der Ankreis kb berührt u.a. die Seite b ; der Mittelpunkt Mb ergibt sich als Schnittpunkt der Halbierenden w'C und w'A: Mb(-4/-15). Den Radius erhält man mit Hesse als Abstand des Punktes Mb von b: rb =6 * wurzel(5) Gleichung von kb: ( x + 4 ) ^ 2 + ( y + 15 ) ^ 2 = 180 3) der Ankreis kc berührt u.a. die Seite c; der Mittelpunkt Mc ergibt sich als Schnittpunkt der Halbierenden w'A und w'B: Mc(11 / 0 ). Den Radius erhält man mit Hesse als Abstand des Punktes Mc von c: r c = 3 * wurzel(5) Gleichung von kc: ( x -11 ) ^ 2 + y ^ 2 = 45 Wichtige Bemerkung: Es gibt eine Kontrollmöglichkeit mittels des Satzes über die Reziprokwerte der Radien dieser vier Kreise. Der Satz lautet : 1 / ro = 1 / ra + 1 / rb + 1 / rc Unsere Werte bestehen diese Probe SUMMA CUM LAUDE : links und rechts steht der Wert 1/ wurzel(5) Auftrag erfüllt ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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