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fritz552
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 23:19: |
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Brauche dringend Hilfe zu folgender Aufgabe: Aus einer Kugel mit dem Radius R, soll ein symmetrischer Doppelkegel mit maximalen Volumen geschnitten werden. wie groß sind die Höhe h und Radius r der Grundfläche des Einzelzylinders und wie groß ist das maximale Volumen des Doppelkegels? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 22:38: |
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Hi Fritz, Es handelt sich um eine Extremalaufgabe mit einer Nebenbedingung aus der Stereometrie. Der Radius des Grundkreises bei einem der eingeschriebenen Rotationskegel (Spitze im Mittelpunkt M der Kugel) sei r, seine Höhe sei mit h bezeichnet Dann lautet die genannte Nebenbedingung : r^2 + h^2 = R^2 (R:Kugelradius)....................................(NB) Aus Gründen der Zentralsymmetrie der Konfiguration bezüglich M genügt es, die Rechnung für einen der beiden Kegel durchzuführen. Volumen V = 1/3 * Pi* r ^ 2 * h mit (NB) kommt: V =1/3*Pi* [ R^2 * h - h^3]; Um die Extremalstelle zu finden, genügt es, den Inhalt f(h) der eckigen Klammer nach h abzuleiten. Wir erhalten f '( h ) = R^2 - 3 h ^2 und f '' ( h ) = - 6 h > 0 . f ' ( h ) ist null für h = R / wurzel(3) ; für diesen Wert von h wird das Volumen V eines Kegels und auch das Volumen 2*V des Doppelkegels maximal. Der zugehörige Wert von r berechnen wir mit (NB) und erhalten: r = R* wurzel(2/3) . Das maximale Volumen des Doppelkegels ist 2 V= 1 / 9 * wurzel(3) * 4/3"Pi*R^3 , also etwa 19.2% des Kugelvolumens. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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