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stefanie
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 12:59: |
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1) Der Querschnitt einer Rinne ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit bei vorgeschriebenem Querschnitt F der Materialverbrauch möglichst gering wird? 2) Ein Gefäß besteht aus einem oben geschlossenem Zylinder mit unten angesetzer Halbkugel. Der Rauminhalt soll bei vorgegebenem Oberflächeninhalt ein Maximum annehmen. |
stefanie
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 12:41: |
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Kann mir vielleicht irgendwer zumindest bei der ersten Aufgabe helfen?!? Danke im voraus! |
A.K. (akka)
Mitglied Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 38 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 08:58: |
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Hallo Stefanie 1) Seien 2r und a die Rechteckseiten, wobei r der Radius des Halbkreises ist. Dann gilt für den Flächeninhalt der Querschnittsfläche F=a*2r+0,5*p*r² <=> 2ar=F-0,5pr² <=> a=(F-0,5pr²)/2r Für den Materialverbrauch ist die Länge der Seitenwände entscheidend. M=2a+pr M(r)=2(F-0,5pr²)/2r+pr M(r)=F/r-0,5pr+pr M(r)=F/r+0,5pr => M'(r)=-F/r²+0,5p=0 <=> r²=F/(0,5p) => r=Ö(F/(0,5p))=Ö(0,6366F) Mit 2.Ableitung auf Minimum überprüfen a=(F-0,5p*0,6366F)/2*Ö(0,6366F)=0 Somit besteht die Rinne nur aus einem Halbkreis. Anmerkung: Ich bin davon ausgegangen, dass die Rinne oben offen ist, muss sie vielleicht geschlossen sein? 2)Sei r der Radius der Halbkugel und h die Höhe des Zylinders. Dann gilt für die Oberfläche O=pr²+2prh+2pr² <=> O=3r²p+2rhp <=> O-3r²p=2rhp <=> h=(O-3r²p)/(2rp) Für das Volumen gilt V=pr²h+(2/3)pr³ V(r)=p[r²*(O-3r²p)/(2rp)+(2/3)r³p] <=> V(r)=(1/2)Or-(5/6)pr³ => V'(r)=(1/2)O+(5/2)pr²=0 => r=Ö(2*O/15p)=Ö(0,04244*O) Mit 2.Ableitung prüfen. h=(O-3*0,04244*Op)/(2Ö(0,04244*O)p) h=0,4635*O Hoffe, das stimmt so. Bitte nachrechnen. Mfg K. |
stefanie
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 15:12: |
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Danke! Nur glaube ich, dass bei 2) etwas verkehrt ist... V'(r) müsste doch (-15*pi*r²)/6 + O/2 sein! Wenn es vorher negativ ist, kann es doch nicht plötzlich positiv werden, oder?!? Ich habe deshalb folgendes heraus: r= Wurzel aus (O/(5*pi)) Ist das richtig? |
A.K. (akka)
Mitglied Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 41 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 21:04: |
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Hallo Stefanie du hast recht. Die 1. Ableitung lautet richtig: V'(r)=O/2-(15pr²/6) V'(r)=O/2-(5/2)pr²=0 <=> O/2=(5/2)pr² |*2 <=> O=5pr² |:5p <=> r²=O/(5p => r=Ö(O/(5P)) Somit müsste deine Lösung stimmen. Mfg K. |
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