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Beitrag |
    
Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 18:21: | 
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kann mir jemand erklären, warum
sin 30°=0,5
sin 45°=0,5*sqrt(2)
sin 60°=0,5*sqrt(3)
ist |
ari
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 10:12: |
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Hi Peter,
1) zu sin 30° = 0,5: zeichne ein gleichseitiges Dreieck ABC, das also 3 gleiche Winkel zu 180/3 = 60° hat. Die 3 gleichlangen Seiten haben die Länge s. Fälle jetzt von A aus (z.B.) ein Lot auf die Gegenseite BC, Lotfußpunkt = L. Dieses Lot AL ist die Winkelhalbierende und steht senkrecht auf BC. Das Dreieck ABL hat in A die gesuchten 30°. Und von A aus ist LB die Gegenkathete, AB die Hypothenuse.
Also: sin 30° = LB/AB. Da AB=s und LB=s/2, ist dann
sin 30 = (s/2) / s = 1/2 = 0,5
2) zu sin 45° = 0,5 * W(2):
zeichne ein Quadrat ABCD mit Seitenlänge s und zeichne die Diagonale d z.B. von A nach C. Dann ist im Dreieck ABC der Winkel in A gleich 45° und Du hast
sin 45° = BC / CA = s / d
Nach Pythagoras ist d^2 = s^2 + s^2 = 2*s^2, also d = W(2*s^2) = s * W(2)
sin 45° = s / (s * W(2)) = 1 / W(2) = ......... Erweitern mit W(2)
= W(2) / [W(2)*W(2)] = W(2) / 2 = 0,5 * W(2)
3) zu sin 60° = 0,5*W(3)
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit alpha=60°, beta=30° und gamma=90°. Dann ist
sin alpha = sin 60° = a / c gesucht. Nun weißt Du aus Aufgabe 1), daß sin beta = sin 30° = b / c = 0,5 ist.
Also ist b = 0,5 * c. Mit Pythagoras wird
c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 0,5^2 * c^2
a^2 = c^2 - 0,5^2 * c^2 = c^2 * (1 - 0,5^2)
(a/c)^2 = 1 - 0,5^2 = 1 - 0,25 = 0,75 = 3/4
a/c = sin 60° = W(3/4) = W(3) / 2 = 0,5 * W(2)
Ciao. |
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