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Ronny (Wonkyfox)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 13:23: |
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Ich benötige den Beweis das für die Innenwinkel im Dreieck gilt : tan a + tan b + tan g = tan a * tan b * tan g |
H,R,Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 22:08: |
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Hi Ronny, Wir wählen die folgenden Bezeichnungen A :Dreieckswinkel alpha B: analog beta C: analog gamma Die folgenden Vorkenntnisse sind für die Lösung Deiner Aufgabe unerlässlich. (1) Da C zur Summe A+B supplementär ist, also C = 180° - (A+B) ist, gilt tan C = - tan (A + B)...............................................-----(I) (II) Es gilt das Additionstheorem des Tangens: tan ( A + B ) = [tan A + tan B ] / [ 1 - tan A * tan B]..(II) Nun zur Herleitung der Relation: Wir formen ihre die linke Seite L um: L = tan A + tan B - tan (A + B) = [tan A + tan B - [tan A + tanB ] / [ 1 - tan A * tan B ] = ={ tanA + tan B - (tan A)^2 * tan B - tan A * (tan B) ^2 - tan A - tan B } / { 1 - tan A * tan B } Im Zähler heben sich die einfachen Summanden tan A und tan B weg Es bleibt: L = - {tan A * tan B * [ tan A + tan B ]} / {1 - tan A *tan B }, die eckige Klammer, geteilt durch {1 - tanA * tan B} ergibt nach (II) tan (A+B) , d.h minus tan C , zusammen mit minus tan A* tan B gibt das gerade die rechte Seite der Relation, womit diese bewiesen ist. Bravo ! |
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