| Autor |
Beitrag |
    
Sebastian Daus (Seb5)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 13:10: | 
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Bestimme den Wendepunkt von f und berechne die Koordinaten mit Hilfe der 2. Ableitung
f(x)=
3x²- 8x
----------
(x-2)² |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 17:16: |
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f'(x)=
(6x-8)*(x-2)² - (3x²-8x)*2*(x-2)*1
----------------------------------
(x-2)4
=
(6x-8)*(x-2) - (3x²-8x)*2
------------------------------
(x-2)3
=
6x²-12x-8x+16 - 6x²+16x
-----------------------
(x-2)3
=
-4x+16
--------
(x-2)3
f''(x)
=
-4(x-2)3 - (-4x+16)*3*(x-2)2
---------------------------------
(x-2)6
=
-4(x-2) + 12x -48
----------------
(x-2)4
=
-4x + 8 + 12x - 48
----------------
(x-2)4
=
8x-40
-------
(x-2)4
f'''(x)
=
8*(x-2)4 - (8x-40)*4*(x-2)3
-----------------------------------
(x-2)8
=
8*(x-2) - (8x-40)*4
--------------------
(x-2)5
=
8x-16-32x+160
-------------
(x-2)5
=
-24x+144
--------
(x-2)5
Wendestellen kann es nur dann geben, wenn f''(x)=0 (notwendige Bedingung)
f''(x)=0 <=>
8x-40
----------- = 0
(x-2)4
8x-40 = 0
x=5
falls nur mit 2.Ableitung gerechnet werden darf, betrachte nun f''(5-d) mit d® 0, d>0
f''(5-d) =
40-8d-40
----------------------
was positives im Nenner
=
-8d
-------------
was positives
=
was negatives
------------- < 0
was positives
f''(5+d)
ergibt dann analog was positives, also wechselt der Funktionsterm von f'' in x=5 von negativ nach positiv, wenn x von Zahlen kleiner als 5 in Zahlen größer als 5 übergeht. Das heißt, die Steigung (=Ableitung) von f''(x) ist in x=5 nicht Null, das heißt, es liegt wirklich eine Wendestelle bei x=5 vor.
Einfacher ging dies natürlich mit der 3.Ableitung:
x=5 einsetzen, und zeigen, dass sie ungleich Null ist:
f'''(5)=
-24*5+144
--------
(5-2)5
=
24/243 ¹ 0
also Wendestelle bei x=5
y-Koordinate des Wendepunktes durch Einsetzen von x=5 in f(x):
f(5)=
3*25-8*5
---------
3²
=35/9
Wendepunkt bei (5;35/9)
Sorry, falls Formatierung des d = "delta" nicht wie von mir beabsichtigt stimmt, aber dieses uralte Netscape hier zeigt mir nur ein "d" an. |
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