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Max
| Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 11:50: |
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Hi! Nachdem man die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung gefunden hat, verwendet man ja das Verfahren der "Variation der Konstanten" y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x). Da man nun aber 2 Funktion C1(x) und C2(x) bestimmen muss, benötigt man dementsprechend auch ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen. Man setzt: (1) C1'y1+C2'y2 =0 (2) C1'y1'+C2'y2'=f(x) Sicherlich führt eine solche Setztung zum Ziel, allerdings verstehe ich nicht, wie man auf die beiden Gleichungen kommt, insbesondere auf die untere? MfG Max |
Zaph (Zaph)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. August, 2000 - 17:37: |
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Hi Max, Gleichung (1) ist willkürlich gewählt. (Es gibt genügend Auswahl für C1 und C2, dass das funktioniert.) Daraus bestimmst du dann Gleichung (2) wie folgt. Sei y'' + a(x) y' + b(x) y = f(x) die Dgl. Für y machst du den Ansatz y = C1 y1 + C2 y2 und setzt dies in die Dgl ein. (C1 y1 + C2 y2)'' + a (C1 y1 + C2 y2)' + b (C1 y1 + C2 y2) = f <=> (C1'y1 + C1 y1' + C2'y2 + C2 y2')' + a (C1'y1 + C1 y1' + C2'y2 + C2 y2') + b (C1 y1 + C2 y2) = f <=> [wg. Gl. (1)] (C1 y1' + C2 y2')' + a (C1 y1' + C2 y2') + b (C1 y1 + C2 y2) = f <=> C1'y1' + C1 y1'' + C2'y2' + C2 y2'' + a (C1 y1' + C2 y2') + b (C1 y1 + C2 y2) = f <=> [umsortieren] C1'y1' + C2'y2' + C1 (y1'' + a y1' + b y1) + C2 ( y2'' + a y2' + b y2) = f <=> [da y1, y2 Lösungen der homogenen Dgl.] C1'y1' + C2'y2' = f |
Max
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 19:02: |
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Hi, und dieses Gleichungssystem muss dann immer eine Lösung haben? In meinem Buch steht lediglich, dass dies wegen einer "Wronski-Determinante" so sein soll. Allerdings ist nicht erklärt, was das überhaupt ist. Welche guten Bücher gibt es denn so zu diesem Thema? Max |
Fern
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 19:50: |
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Hallo Max, Dein Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, wenn die beiden Lösungen y1(x) und y2(x) linear unabhängig sind. Dies kann man mit der Wronski-Determinante testen.
| y1 y2 | Wronski = | y1' y2'| = y1*y2' - y2*y1' Diese Determinante muss ungleich Null sein. ===================== Beispiel: y" + y = 0 y1 = sin(x) y2 = cos(x) W = y1*y2' - y2*y1' = -sin²(x) - cos²(x) = -1 also nicht gleich Null. |
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