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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 09:26: | 
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Hi, Kommt jemand auf den Ansatz zu dieser Aufgabe?
Man will eine Statue betrachten, die eine Höhe von 9m hat und auf einem Sockel lotrecht steht, dessen Tragfläche sich 6m über der Augenhöhe des Betrachters befindet.
Wie weit entfernt muß er sich hinstellen, um die Statue unter max. Sehwinkel zu betrachten? Wie groß ist dieser Winkel?
Thx |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 23:48: |
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Hi Anonym!
Zuerst sollte man sich eine Skizze machen, in der man alle wichtigen Größen einzeichnet.
Dazu ein paar Bezeichnungen: x sei der Abstand vom Betrachter zur Statue; alpha der gesuchte Winkel.
Der Betrachter bekommt nun den Buchstaben B wie Betrachter, den höchste Punkt der Statue nennen wir einfach mal K wie Kopf, den tiefsten Punkt der Statue F wie Fuß und den Punkt auf dem Sockel, den der Betrachter anstarrt, wenn er geradeaus sehen würde, nennen wir einfallsloserweise P wie Punkt.
Nun müsste man auf einer guten Skizze zwei rechtwinklige Dreiecke erkennen können, und zwar ein großes BPK und ein darin enthalten ein kleines: BPF.
Am Punkt des Beobachters haben wir nun einen großen Winkel KBP des großen Dreiecks und einen kleinen Winkel FBP des unteren Dreiecks. Der gesuchte Winkel alpha ist nun einfach die Differenz der Beiden, d.h.
alpha = Winkel[KBF]=Winkel[KBP]-Winkel[FBP]
Die Winkel KBP und FBP lassen sich nun über die Tangens-Definition in den dazugehörigen rechtwinkligen Dreiecken darstellen, d.h.
tan(Winkel[KBP])=Gegenkathete / Ankathete
=(9m+6m)/x
=> Winkel[KBP]=arctan(15m/x)
Für Winkel[FBP] ergibt sich arctan(6m/x)
Also:
alpha(x) = arctan(15m/x)-arctan(6m/x)
mit x aus IR+
Somit hätten wir es geschafft, die zu maximierende Größe alpha als Funktion der Variable x darzustellen. Der Rest dürfte kein Problem mehr sein. Wenn doch, melde Dich nochmal. Ich gebe zu, dass diese Funktion etwas kompliziert aussieht und es wäre durchaus möglich, dass es einen einfacheren Weg gibt. Falls jemand einen kennt oder jemand einen Fehler in meinen Überlegungen entdeckt, wäre ich sehr dankbar für einen Hinweis.
Gruß
Cosine |
H,R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 06:39: |
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Hi Cosine,
Gerne führe ich eine komplette rechnerische Lösung des Problems vor;
es gibt daneben übrigens auch eine konstruktive Lösungsmöglichkeit.
Die Disposition:
Rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy
Fusspunkt F(0/6) der Statue, Spitze S(0/15) der Statue
Beobachter P(x / 0) auf der x-Achse (am Boden liegend) ,Variable x
Winkel alpha 1 = Winkel OPF
Winkel alpha 2 = Winkel OPS
Sehwinkel phi als Differenz alpha 2 - alpha 1 ;
Es soll x > 0 so bestimmt werden, dass phi maximal wird.
Jetzt kommt das Ei des Kolumbus:
Wir bestimmen mit Hilfe des Subtraktionstheorems des Tangens
tan (phi) als eine Funktion von x :
Es gilt:
tan (phi) = tan(alpha 2 - alpha 1)
= (tan (alpha 2) - tan (alpha 1)) / ( 1 + tan (alpha 1) * tan (alpha 2))
Nun ist aber gemäss Figur tan (alpha 1) = 6 / x und tan (alpha 2) = 15 / x
Setzt man diese Werte ein und vereinfacht den Doppelbruch , so kommt:
tan (phi) = 9 * x / ( x ^ 2 + 90 ) = f (x).
Die Ableitung von f(x) ergibt sich mit Hilfe der Quotientenregel
Wir erhalten: f ' (x) = 9 * ( 90 - x^2 ) / ( x ^ 2 + 90 ) ^ 2
Die positive Nullstelle von f ' (x) ist x = wurzel(90) als beste
Beobachtungsdistanz, gemessen von O aus.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 09:35: |
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Hi
Wie ich schon erwähnt habe, gibt es auch eine konstruktive Lösung
dieser Aufgabe, die durch ihre Eleganz gefällt.
Die Konstruktionsschritte sollen im folgenden im Detail beschrieben werden
Für das Verständnis sind ein paar wenige Kenntnisse aus der Planimetrie nötig und zwar aus der Kreislehre, nämlich der Peripheriewinkelsatz und der
Sekantensatz (eventuell der Begriff der Potenz eines Punktes bezüglich
eines Kreises und die Konstruktion des geometrischen Mittels zweier Strecken)
Die Disposition sei dieselbe wie bei meiner früheren rechnerischen Lösung
Rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy
Fusspunkt F(0/6) der Statue, Spitze S(0/15) der Statue
Beobachter P auf der positiven x-Achse
Sehwinkel phi = Winkel FPS
Es soll P durch Konstruktion so bestimmt werden, dass phi maximal wird.
Zu Beginn konstruieren wir einen (beliebigen) Kreis k , der durch die Punkte
F und S geht, indem wir seinen Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten m der Strecke FS beliebig wählen.
Dabei ist m die Gerade y = 10.5 ; um die Idee zu fixieren,
wählen wir als Mittelpunkt M den Punkt ( 6 / 10.5 );
zur Kontrolle: der Radius des Kreises k ist dann 7.5 Längeneinheiten.
Der laufende Punkt L des Kreises k bildet nun mit der Strecke FS wegen des Peripheriewinkelsatzes eine konstanten Winkel beta = Winke FLS.
Man sagt auch, dass man die Strecke FS von L aus unter einem konstanten Winkel beta sieht.
Das ist nicht weiter weltbewegend. !
Jetzt aber wird es ernst. Wir suchen einen Kreis k* , der wiederum
durch F und S geht und ausserdem die positive x-Achse berühren soll.
Dieser Kreis ist eindeutig bestimmt und berührt die x-Achse gerade
im gesuchten Extremalpunkt T* , wie man leicht erkennt.
Der Mittelpunkt M* von k* liegt wieder auf m ,braucht aber nicht konstruiert zu werden
Wesentlich ist die Konstruktion von T* ; dazu ermitteln wir die
Streckenlänge x* = OT* mit dem Sekantensatz.
Es gilt:
x* = OT* = wurzel (OF * OS ) = wurzel ( 6* ( 6+9) = wurzel (90)
wie bei der rechnerischen Lösung.
x* ist das geometrische Mittel der Strecken OF und OS und wird im vorliegenden Fall am besten so konstruiert
Von O aus legen wir an unseren ersten Kreis k, der durch F und S geht,
eine der beiden Tangenten; der Berührungspunkt sei T.
Die Strecke OT ist das gesuchte geometrische Mittel, weil wegen des
Sekanten-Tangentensatzes
OT ^ 2 = OF * OS gilt.
(Potenz des Punktes O in bezug auf alle Kreise, welche durch F und S gehen!)
Diese Strecke tragen wir auf der + x-Achse von O aus ab und erhalten T*.
Damit ist die Konstruktion zu einem guten Ende gelangt; was wollen wir,
ausser T*, noch mehr!
Viel Vergnügen bei dieser lässigen Konstruktion wünscht
H.R.M.,megamath. |
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