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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 12:59: | 
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Schreibe morgen eine total wichtige Matheklausur, in der ich fast mit 100%-iger Sicherheit folgende Aufgabe lösen muss:
f(x) = 1/16x hoch4 - 3/4x hoch2
Bin jedem der mir eine Lösung geben könnte ( Ableitung, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Zeichnung) sehr , sehr dankbar! Wirklich! |
Sternenfuchs (Sternenfuchs)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 20:29: |
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f(x)=1/16x^4 - 3/4x^2
f(x)=x4/16 - 3*x2/4
f'(x)=x3/4-3*x/2
f''(x)=3*x2/4-3/2
f'''(x)=3*x/2
f''''(x)=3/2
Nullstellen:
x4/16 - 3*x2/4 =0
x2*(x2/16-3/4)=0
x1=0
x2/16-3/4=0
x2/16=3/4
x2=12
x2=-Ö12
x3=+Ö12 |
Cantaro
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 21:21: |
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Aufgabe: Diskutiere die Funktion
f(x) = 1/16x4 - 3/4x2
(Ableitungen, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Zeichnung).
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Ableitungen: (nach den Rechenregeln: d/dxxn = nxn-1 für alle n != 1)
f'(x) = 1/4x3 - 3/2x
f''(x) = 3/4x2 - 3/2
f'''(x) = 3/2x
Symmetrie:
f(-x) = 1/16(-x)4 - 3/4(-x)2
= 1/16x4 - 3/4x2 = f(x) für alle x.
Also ist f achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nullstellen: (gdw. = genau dann, wenn; sqrt = Quadratwurzel)
f(x) = 0 gdw. 1/16x4 - 3/4x2 = 0
gdw. x4 - 12x2 = 0
gdw. x2(x2 - 12) = 0
gdw. x = -sqrt(12) oder x = 0 oder x = sqrt(12)
Also sind die Nullstellen: N1,2(0, 0), N3(-sqrt(12), 0), N4(sqrt(12), 0).
x = 0 zählt doppelt, denn x2 = xx.
Lokale Extrema:
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
f'(x) = 0 gdw. 1/4x3 - 3/2x = 0
gdw. x(x2 - 6) = 0
gdw. x = -sqrt(6) oder x = 0 oder x = sqrt(6)
Hinreichende Bedingung: f''(x0) != 0 für ein x0, das die notwendige Bedingung erfüllt.
f''(0) = -3/2
f''(-sqrt(6)) = f''(sqrt(6)) = 3
Also hat f bei M(0, 0) ein lok. Maximum, bei m1(-sqrt(6), -9/4) und m2(sqrt(6), -9/4) lok. Minima.
Wendepunkte:
Notwendige und hinreichende Bedingung wie bei Extrema, jedoch jeweils eine Ableitung "höher".
f''(x) = 0 gdw. 3/4x2 - 3/2 = 0
gdw. x2 = 2
gdw. x = -sqrt(2) oder x = sqrt(2)
f'''(-sqrt(2)) = -3/2 sqrt(2) != 0
f'''(sqrt(2)) = 3/2sqrt(2) != 0
Also hat f bei W1(-sqrt(2), -5/4) sowie W2(sqrt(2), -5/4) Wendepunkte.
Zeichnung: kannste selber machen, sollte bei den vielen Angaben nicht schwierig sein.
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Zeitaufwand: ca. 20 Minuten. |
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