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Beitrag |
    
Jan
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 22:03: | 
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Wer kann mir weiterhelfen?
Ich brauche die Herleitungen der Restgliedformeln von Lagrange und Cauchy, um das Restglied in Taylorreihen zu ermitteln.
Danke. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. April, 2000 - 18:38: |
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Hi Jan,
Es gibt viele verschiedenartige Herleitungen der Taylorschen Formel
und ihrer Restglieder. Eine, die mir besonders gut gefällt, benützt
den ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung ;
diese Herleitung stammt von Ludwig Bieberbach, und ich möchte sie
Dir hier vorführen.
Formulierung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung:
Für a < = x < = b seien die beiden Funktionen u(x) und v(x) stetig..
Ueberdies sei v(x) von einerlei Vorzeichen.
Dann gibt es ein Stelle s zwischen a und b , a < = s < = b, sodass gilt:
int (u(x) * v(x) * dx ) = u(s) * int ( v(x) * dx) (M I)
(Grenzen der beiden bestimmten Integrale: je von a bis b )
Jetzt geht's zur Herleitung der Taylorschen Formel mit Restglied
(nach Wunsch in der Lagrangeschen Form oder in der Cauchyschen Form)
für die gegebene Funktion f(x) , welche alle nötigen Regularitätsvoraussetzungen mitbringt.
Die Differenz D(h) = f(x+h) - f(x) soll durch ein Polynom in h
approximiert werden.
Mit einer Integrationsvariablen t und der Ableitung f ' (x) von f(x) nach x
kann D (h) durch ein bestimmtes Integral in den Grenzen t = 0 bis t = h geschrieben werden:
Wir bilden also mit einer neuen Variablen t: 0 < = t < = h und mit f(x) die neue Funktion in t
f( x + h - t) , t übernimmt - wie gesagt - die Rolle einer Integrationsvariablen, während x und h während des Prozesses fest bleiben.
Die Ableitung von f (x+h-t) nach t ergibt wegen der Kettenregel folgendes:
f ' (x+h-t) = - f (x+h-t) (Minuszeichen wegen der inneren Ableitung !) , daher gilt für das entsprechende,zunächst unbestimmte Integral, dieses:
int (f ' (x + h - t ) * dt = - f ( x + h - t ) plus eine beliebige Integrationskonstante.
Durch Einsetzen der Grenzen für t (untere Grenze 0 , obere Grenze h) entsteht:
int ( f ' (x +h -t)* dt) = f ( x + h ) - f ( x ), oder andersherum:
f (x+h) = f(x) + int ( f ' (x + h - t ) * dt ) , Grenzen wie immer 0 bis h.
Jetzt wird es spannend !
Auf das letzte Integral wenden wir die Methode der partiellen Integration an und verwenden dabei sofort für alle Teile die zitierten Grenzen 0 und h.
(Sollten die folgenden Zwischenresultate für Dich unerfindlich sein, würde ich die ausführlichen Berechnungen dazu nachliefern !)
Es taucht nun wegen der partiellen Integration die zweite Ableitung f '' auf.
(Ableitungen und Integrationen : immer nach der Variablen t ausführen ,
Grenzen für sämtliche Integrale selbstredend: unten 0 , oben h !)
Wir bekommen
int( f ' (x + h - t)*dt) = h * f' (x) + int ( t * f ' ' (x + h - t )*dt),
auf das letzte Integral wenden wir wiederum partielle Integration an ; dann wird:
int (f ' ' (x +h -t )*dt) = h^2 / 2 * f ' '(x) + ½* int ( t ^2 * f ' ' ' (x + h - t)*dt)
Also gilt jetzt insgesamt:
f(x+h)=f(x) + h*f ' (x) + h^2 / 2 * f ' ' (x) + ½ * int(t^2*f ' ' ' (x+ h -t) * dt)
So fahren wir weiter und erhalten :
F(x+h) =f(x) + h*f '(x) + h^2 /2* f ' ' (x) +...
+ h^(n-1) / (n -1)! * f ° (x) + 1 / (n-1)! * int ( t ^ (n-1) * f§((x+h-t)*dt.)
Dabei bedeuten die Symbole ° und § : (n-1)-te und n-te Ableitung von f(x).
Das letzte Integral R rechts ist eine Integraldarstellung des Restgliedes in der nun vorliegenden Taylorschen Formel.
Wir wenden auf diesen Rest R den oben zitierten ersten Mittelwertsatz
(M I) der Integralrechnung an und zwar wählen wir für die Funktion v(t) die folgenden beiden zulässigen Versionen:
a) v(t) = t ^(n-1); es entsteht das Restglied in der Form von Lagrange.
b) v(t)= 1 (constans) ; es entsteht das Restglied von Cauchy .
Ausführung:
zu a)
Der Wert s zwischen 0 und h, den wir benötigen, sei
(1- theta ) * h mit 0 < theta < 1: dann kommt mit v(t) = t ^ (n-1):
das Restglied RL nach Lagrange:
RL = 1/(n-1)!* f§(x+theta * h) * int (t^(n-1)*dt) =
h^n / n! * f§(x + theta * h )
( § bedeutet wiederum die n-te Ableitung,
die Grenzen des Integrals sind nach wie vor 0 und h.
zu b)
mit v = 1 kommt das Restglied RC von Cauchy heraus:
RC = 1 / (n-1) ! * ( 1 - theta ) ^ (n - 1) * h ^ n * f§ ( x + theta * h ) .
Deine Aufgabe ist damit summa cum laude gelöst !
Ein anderes Mal werde ich, sofern ich die nötige Zeit aufbringen kann ,eine Lösung vorführen, die keine Integrale benötigt.
Aus einer ziemlich allgemeinen Darstellung des Restgliedes nach Schlömilch und Roche entspringen wiederunm durch eine geeignete Spezialisierung die von Dir erwünschten Restglieder von Lagrange und Cauchy.
Bis dahin.
M.f.G.
H.R.,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. April, 2000 - 08:25: |
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Motto: "Delikatessen aus der Restenküche.."
Hi Jan,
Es folgt nun eine Herleitung der Formeln von Lagrange und Cauchy
für das Restglied in der Formel von Taylor, welche ganz ohne Integrale auskommt. .Als Grundlage dazu dient der Satz von Rolle:
Die Funktion f(x) sei im Intervall a < = x < = b stetig und differenzierbar.
Und es gelte f(a) = f(b) = 0 . Dann gibt es im Inneren des Intervalls
mindestens eine Stelle s , für welche die Ableitung null ist: f ' ( s ) = 0.
Zwischen zwei Nullstellen von f(x) liegt also mindestens eine Nullstelle
von f ' (x).
Für den Beweis der Taylorschen Formel machen wir den aus der Erfahrung induzierten Ansatz:
f( xo + h ) = f( xo) + h * f ' (xo) + h^2 / 2 * f ' ' ( xo) + ....
+ h ^ (n-1) * f° ( xo) / (n-1) ! + h ^ p * Q . (Gl A)
( f° ist die (n-1)-te Ableitung von f(x) , p eine natürliche Zahl und
Q ist ein zu bestimmender Term)
Für f(x) seien die folgenden Regularitätsbedingungen erfüllt:
Im Intervall a < = x < = b , dem die Stelle xo angehört, sei f(x) samt den Ableitungen bis und mit der n-ten Ordnung stetig differenzierbar.
Wir setzen an : X = xo + h. und führen die folgende neue Funktion
F(x) ein, welche einige Wunder bewirken wird , nämlich:
F (x) = f(X) - f(x) - f ' (x) * ( X - x ) - ...
- f°(x) * ( X - x ) ^ ( n - 1 ) / ( n - 1 ) ! - Q * (X-x) ^ p . (Gl B)
(wiederum bedeutet f° die (n-1)-te Ableitung von f(x) ).
Die Funktion F(x) erfüllt nun die Voraussetzungen des Satzes von Rolle,
insbesondere liegen bei x = xo und x = X Nullstellen von F(x) vor,
wie man leicht nachrechnet:
F(X) = 0 unmittelbar !
F(xo) = f(X) - f(xo) - f ' (xo) * ( X - xo) - ...
- f°(xo)*( X - xo) ^ ( n-1 ) / ( n-1 ) ! - Q* ( X - xo ) ^ p
(wiederum ist f° die (n-1)-te Ableitung)
ersetzen wir darin X -xo durch h und verwenden (GL B) , so bestätigt man leicht:
F(xo) = 0.
Nun leiten wir die Funktion F(x) nach x ab, damit wir den Satz von Rolle anwenden können. Es kommt (viele Terme heben sich zum Glück weg):
F ' (x ) = Q*p*(X-x) ^ ( p -1 ) - f§(x)*(X-x)^(n-1) / ( n - 1 )! , dabei ist
f§ die n-te Ableitung von f(x).
Jetzt setzen wir nach Rolle die Zwischenstelle s zwischen xo und X = xo +h,
( später: s = xo + theta * h ) ein und postulieren:
0 = F'(s) = Q * p* (X-s) ^ (p-1) - f§(s)*(X-s) ^ (n-1) / (n-1) !
Wir setzen nun X = xo + h und s = xo + theta * h mit 0 < theta < 1
ein und lösen nach Q auf ; wir erhalten ohne grosse Mühe:
Q = f§(xo+theta*h) / (n-1) ! * (1 - theta)^(n-p)* h^(n-p) / p (Gl C)
f§ ist wiederum die n-te Ableitung von f(x).
Das ist die angekündigte Formel von Schlömilch und Roche.
Setzt man darin p = n oder p = 1 ein, so erhält man das Restglied nach
Lagrange beziehungsweise nach Cauchy:
1. p = n : RL(n) = f§( xo + theta * h ) / n! * h ^ n
2. p = 1 : RC(n) = f§( xo + theta * h) / (n-1)! * ( 1-theta)^(n-1) * h^n
f§ bedeutet jedesmal: n-te Ableitung von f(x)
Die thetas in den beiden Formeln stimmen nicht notwendigerweise überein,
es gilt : 0 < theta < 1
Rückfragen sind erlaubt und sogar erwünscht !
M.f.G.
H.R.,megamath. |
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