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juliane
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 16:40: |
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Diese Teilbarkeit soll ich nachweisen mit der vollständigen Induktion. (2^3^n)+ 1 ----------------- 3^(n+1) |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 18:11: |
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Hallo Juliane, ich mach mal den Anfang: n=1: 2(31)+1 = 23 + 1= 8 + 1 = 9 und 31+1 = 3² = 9 Und da 9 ein Teiler von 9 ist, gilt die Behauptung für n=1. Und für n=2: 2(32)+1 = 29 + 1= 513 und 32+1 = 3³ = 27 Und 27 ist ein Teiler von 513. Ok. Nun allgemein n->n+1: 2(3n+1) + 1 = 2(3 * 3n) + 1 = [2(3n)]3 + 1 = [2(3n)]3 + 1 [Achtung, Trick!] = [2(3n)+1]3 - 3*[2(3n)]² - 3*2(3n) -1 + 1 Was sieht man: Nach Induktionsvoraussetzung ist 2(3n)durch 3n+1 teilbar. alle Summanden Summand dieser schlimmen Summe sind sicherlich durch 3n+2 teilbar. Kannst Du das sehen? Auf jeden Fall darfst Du nicht versuchen diesen letzten Ausdruck umzuformen. So wie er jetzt da steht ist er optimal. Gruß Matroid |
Juliane
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 19:03: |
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Frage: Nach Induktionsvoraussetzung ist doch (2^3^n) +1 durch 3^n+1 teilbar und nicht 2^3^n durch 3^(n+1) teilbar ? |
Juliane
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 19:12: |
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Danke erstmal für die Lösung!!!!!! Ich kann bei der Stelle wo sie geschrieben haben [Achtung,Trick!] leider nicht ganz folgen könnten sie mir die Zwischenschritte aufschreiben wenn es ihnen nicht zu viel Arbeit macht. Es wäre sehr nett. |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 19:39: |
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Erste Frage: Die Behauptung sagt, daß der obere Ausdruck durch 3n+1 teilbar ist. Das habe ich richtig gelesen. Zweite Frage: Die Induktionsvoraussetzung für den Induktionsschritt lautet ausgeschrieben: 2 3n + 1 ist durch 3n+1 teilbar. In der Induktionsbehauptung steht nun 2 3n+1 + 1 ist durch 3n+2 teilbar! Durch Anwendung von Potenzrechenregeln forme ich um: 2 3n3 + 1 = [2 3n ]3 + 1 Um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können, brauche ich statt 2 3n aber 2 3n + 1 Darum füge ich in der eckigen Klammer + 1 - 1 hinzu (das ist ja Null). = [2 3n + 1 - 1]3 + 1 Dann klammere ich = [(2 3n + 1) - 1]3 + 1 und bilde die dritte Potenz nach der Regel: (a - 1)3 = a³ - 3a² + 3a - 1 [hier steht a für (2 3n + 1)] => [(2 3n + 1)]³ - 3 * [2 3n + 1)]² + 3 * (2 3n + 1) -1 + 1 [(2 3n + 1)]³ - 3 * [2 3n + 1)]² + 3 * (2 3n + 1) Der dritte Summand ist 3 * (2 3n + 1) Darin ist 2 3n + 1 enthalten und das ist nach Induktionsvoraussetzung durch 3n+1 teilbar. Also ist 3 * (2 3n + 1 durch eine 3 mehr teilbar, das sind dann 3n+2. Auch die anderen beiden Summanden sind mindestens durch 3n+2 teilbar. |
Juliane
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 16:46: |
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Hilfe! Mein Lehrer hat gesagt, das das nicht reicht.Ich soll weiter umformen bis da am Ende steht = 3^(n+2)*k2 |
Ingo (Ingo)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 02:23: |
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Ich greife mal den Gedanken von Matroid nochmal auf und setze ihn etwas anders(vielleicht für Dich verständlicher) um : Beh. : 2^(3n)+1=3n+1*kn Bew : n=1 siehe Matroid n->n+1 2^(3n+1)+1 = 2^(3*3n)+1 = [2^(3n)]3+1 nach Induktionsvoraussetzung ist das aber [3n+1*kn-1]3+1 Jetzt rechnet man die Klammer aus 33n+3*kn3-3*32n+2kn2+3*3n+1*kn-1+1 und klammert aus 3n+2(32n+1kn3-3n+1kn2+kn) |
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