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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 16:54: | 
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Kann mir jemand folgende Grenzwerte berechnen.
a) (e hoch(2*x)-1)/(ln(1+2*x)) für lim x --> 0
b) (1-e hoch( 2*x))cos x für lim x --> 0
c) (cos (pi/2*x)/(x-1) für lim x --> 1
d) (pi/2-arctanx)/(ln(1+(1/x²) für lim x --> un-
endlich pi=LUDOLFsche Zahl (= 22/7 = 3,141)
e= EULERsche Zahl (= 2,718)
Danke! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:27: |
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Hi ,
Vorneweg die Resultate mit Gewehr:
a) 1 b) 0
c) - Pi / 2 d ) Grenzwert existiert nicht (Divergenz durch unendlich werden)
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Herleitung
a) mit de L'Hospital-Bernoulli
(Zähler und Nenner je separat nach x abgeleitet)
Ein Schritt genügt schon ; es kommt mittels der Regel:
2 * e ^ (2*x) / [(2 /( 1+2 * x)] strebt für x -> 0 gegen 2 /2 = 1
b) der erste Faktor strebt gegen 0 , der zweite gegen 1
das Produkt strebt gegen das Produkt 0 * 1 = 0.
c) Wiederum mit der Regel von de L' H.-B. ; eine einzige Anwendung genügt
wir bekommen durch separates Differenzieren von Zähler und Nenner
- Pi / 2 * sin ( Pi / 2 * x ) / 1 strebt gegen - Pi / 2 für x gegen 1
d) Einmalige Anwendung der Regel von de L' H-B. mit anschliessender
Vereinfachung des Doppelbruches:
[- 1 / (1+x ^ 2 ) * (1+ 1 / x ^ 2 ) ] / [- 2 / x ^ 3] = x / 2 strebt mit x gegen
unendlich selbst gegen unendlich !
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Bravo!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
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