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Mmoo (Mmoo)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 22:28: |
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Bitte um Hilfe! Aufgabe: Beweisen sie mittels vollständiger Induktion 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... +n^3 = 1/4 * n^2 * (n+1)^2 Danke... |
Fabi (Fabi)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 02:08: |
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Hallo Mmooo! Hier so die groben Schritte : Ind.anfang: n=1: 1^3=1/4 * 1*2^2=1 => wahr Ind. hypothese: Es gilt: 1^3+2^3+...+n^3=1/4 * n^2 * (n+1)^2 Ind. schluß: (hier noch mehr ausmultiplizieren) Es gelte auch für 1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=1/4*(n+1)^2*(n+2)^2 1/4 * n^2*(n+1)^2+(n+1)^3=1/4 * (n+1)^2*(n+2)^2 1/4*n^2*(n+1)^2= 1^4 * (n^2+2*n+1)(n^2+4*n+4)-(n+1)^3 durch ausmultiplizieren erhöltst du dann auf beiden Seiten das gleiche. Damit ist der Satz bewiesen. Falls noch Fragen, melde dich einfach! |
Mmoo (Mmoo)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 13:36: |
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Danke, aber so ganz verstehe ich das immer noch nicht. Die Induktionshypothese hatte ich ebenso: 1/4 * n^2 + (n+1)^2 Und als Induktionsschluß habe ich auch: 1/4 * (n+1)^2 * (n+2)^2. Das setzte ich dann ja ein und erhalte: 1/4 * n^2 * (n+1)^2 + (n+1)^3 (Hast Du auch so) Aber das bekomme ich nie so umgeformt, daß dabei die Induktionshypothese herauskommt. Habe dann ja: 1/4 * n^2 * (n+1)^2 + (n+1)^3 1/4 * (n+1)^2 * n^2 + n^3 + 3n^3 + 3n + 1 Der Anfang stimmt ja mit der Induktionsvoraussetzung überein, aber wie bekomme ich den Rest so umgeformt, daß er (n+2)^2 wird. Das kann doch gar nicht gehen, wenn ich vorher n^3 habe, oder? |
Lerny
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 14:08: |
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Hi Mmoo, deine Frage lautet also, wie kann ich 1³+2³+...+n³+(n+1)³ so umformen, dass am Ende 1/4*(n+1)²*(n+2)² steht. 1³+2³+...+n³+(n+1)³ =(nach Ind.Hyp)1/4*n²*(n+1)²+(n+1)³ aus der Summe lässt sich (n+1)² ausklammern =(n+1)²*[1/4*n²+n+1] nun in der Klammer noch 1/4 ausklammern =(n+1)²*[1/4*(n²+4n+4)] wegen (n²+4n+4)=(n+2)² nach binomischer Formel, =1/4*(n+1)²(n²+4n+4) =1/4*(n+1)²(n+2)² mfg Lerny |
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