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Sonja Gatterdam (Tee)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 21:01: | 
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Kann mir jemand sagen, wie man diese 2 Aufgaben löst???
1. Welche beiden reelen Zahlen mit der Differenz 1 haben das kleinste Produkt?
2. Wie groß ist die Summe, die man beim Addieren einer positiven Zahl und ihrer Kernzahl erhält, mindestens??? |
Sonja Gatterdam (Tee)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 21:07: |
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oh, das sollte KEHRZAHL heissen!!! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 21:22: |
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Hi Sonja
zu 1) Sei x die eine Zahl und x+1 die andere. Für das Produkt gilt
f(x)=x(x+1)=x²+x
f'(x)=2x+1
f"(x)=2
f'(x)=0 <=>2x+1=0 <=> x=-0,5
f"(-0,5)=2>0 => min
Die Zahlen sind -0,5 und 0,5
zu 2) Sei x die gesuchte Zahl und 1/x ihr Kehrwert. Für die Summe gilt dann
f(x)=x+(1/x)
f'(x)=1-(1/x²)=0
1/x²=1
x²=1
x=+-1
f"(x)=2/x³ => f"(1)=2>0 => min
Nur x=+1 ist Lösung. Kehrzahl = 1/1=1
mfg Lerny |
Sonja Gatterdam (Tee)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 14:57: |
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Danke schön Lerny, aber ich hab da schon wieder neue Aufgaben!!!
Bitte um Hilfe!
1. Welches Rechteck mit dem Unmfang 30 cm hat die kürzeste Diagonale?
(Anleitung: Bei dem gesuchten rechteck hat das Quadrat über der Diagonalen minimalen Fläscheninhalt)
2. Aus einem 120 cm langen Draht soll das Kantenmodell eines Quaders hergestellt werden, bei dem eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt möglichst groß ist.
3. Welche quadratische Säule mit der Oberfläche 150 dm^2 hat den größten Rauminhalt? Wie groß ist dieser?
4. Längs einer Hauswand soll ein rechteckiges Gartengrundstück so abgesteckt werden, dass zum Einzäunen der drei offenen Seiten eine Rolle mit 20 m Maschendraht ausreicht. Bei welchen Abmessungen wird das Grundstück am größten?
Danke schonmal, Tee |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 17:23: |
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Hi Tee, auf ein Neues
zu 1.
Umfang eines Rechtecks: U=2a+2b=30 => a=15-b
Quadrat über der Diagonalen: D=a²+b² (nach Pythagoras)
D=(15-b)²+b²=225-30b+b²+b²=2b²-30b+225
D'(b)=4b-30=0 <=> 4b=30 <=> b=7,5
D"(b)=4>0 => Min
a=15-b=15-7,5=7,5
Das Rechteck mit den Seiten a=7,5 cm und b=7,5 cm hat die kürzeste Diagonale; also ein Quadrat (spezielles Rechteck)
zu 2.
Die Kanten eines Quaders seien a, b und c. Jede dieser Kanten gibt es genau 4 mal. Also
4a+4b+4c=120 |:4
a+b+c=30
Eine Kante a ist dreimal so lang wie b: a=3b
oben eingesetzt, folgt
3b+b+c=30
4b+c=30
c=30-4b
Volumen eines Quaders:
V=a*b*c=3b*b*(30-4b)=3b²(30-4b)=90b²-12b³
V'(b)=180b-36b²=0
b(180-36b)=0
b=0 geht nicht, da Länge
180-36b=0 <=> 36b=180 <=> b=5
Wegen a=3b folgt a=3*5=15 und mit c=30-4b folgt c=30-4*5=10
Somit hat der Quader die Maße a=15cm, b=5cm und c=10cm
zu 3.
Oberfläche der Säule: 2a²+4ab=150 => b=(150-2a²)/4a
Volumen der Säule:
V=a²*b=a²*(150-2a²)/4a=1/4*(150a-2a³)
V'(a)=1/4*(150-6a²)=0
150-6a²=0 =>a²=25 => a=+-5 Da a eine Länge ist, kann sie nicht negativ sein; also
a=5
b=(150-2a²)/4a=(150-2*25)/20=5
Die Grundfläche hat somit die Kantenlänge a=5dm und die Höhe beträgt b=5dm (Würfel)
V=a²*b=25*5=125dm³
zu 4.
Die Seiten seien a und b, wobei b die zur Hauswand parallele Seite ist. Dann gilt
2a+b=20 => b=20-2a
Flächeninhalt :
A=a*b=a*(20-2a)=20a-2a²
A'(a)=20-4a=0 => 4a=20 =>a=5
b=20-2a=20-2*5=10
Das Grundstück wird am größten, wenn der zur Hauswand parallele Zaun 10m und die beiden anderen Seiten je 5m lang sind.
mfg Lerny |
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