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Stephen
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 10:31: |
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Für die einen Tunnel durchfahrenden Kraftfahrzeuge soll eine Richtgeschwindigkeit vorgeschrieben werden. Bei einer Modellrechnung wird für den Sicherheitsabstand S(v) in Metern der bei einer Geschwindigkeit von v Kilometern pro Stunde einzuhalten ist, die Formel S(v)=0,5*(v/10)² zugrundegelegt. Ferner geht man dabei von einer mittleren Fahrzeuglänge von 12m aus. Wie ist die Richtgeschwindigkeit festzulegen, damit möglichst viele Fahrzeuge den Tunnel in einer Stunde passieren können? Wie viele Fahrzeuge sind dies? |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 183 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 14:42: |
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Hi Stephen, v = 50 km/h S(50) = 0,5 * 25 = 12,5 m v = 100 km/h S(100) = 0,5 * 100 = 50 m Die Zeit die das Fahrzeug braucht um den Sicherheitsabstand zu fahren muß ein minimum sein. v in km/h 3,6 * ( S(v) - 12 ) / v = min. f(v) = 3,6 * ( 0,5 * v^2/100 - 12 ) / v f(v) = 1,8 * v / 100 - 43,2 / v f'(v) = 1,8 / 100 + 43,2 / v^2 1,8 / 100 + 43,2 / v^2 = 0 -1,8 / 100 = 43,2 / v^2 => v ist imaginär und daher kein reales Minimum vorhanden; f''(v) = -86,4 / v^3 => bei jeder Geschwindigkeit ist f(v) ein Maximum Das Problem bei dem Ganzen: verdopple ich die Richtgeschwindigkeit vervierfacht sich der Sicherheitsabstand; sage ich aber dass der Sicherheitsabstand genau die durchschn. Fahrzeuglänge sein muß erhalte ich folgendes: 0,5 * ( v / 10 )^2 = 12 v^2 / 100 = 24 v^2 = 2400 => v ~ 49 km/h setze ich dieses v in meine Funktion ein, ergibt die genau 0; setze ich eine geringere Geschwindigkeit ein, ergibt die Fkt. einen neg. Wert; Das ganze ist, auch wenn die Tunnellänge gegeben wäre, unabhängig davon; Vielleicht helfen Dir diese Überlegungen weiter; Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen, das gerne weiterhilft oder auch verwirrt *ggg*
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egal
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 15:38: |
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Hi Stephen, stell dir vor du stehst am Tunnelausgang. Sobald das erste Auto vollständig aus dem Tunnel ist startest du die Stoppuhr und misst die Zeit bis das nächste Auto vollständig aus dem Tunnel ist. Das Auto muss die Strecke 12m + S(v) zurücklegen und fährt mit Geschwindigkeit 1000*v m/h (der Faktor 1000 wandelt die km/h in m/h um, damit die Einheiten übereinstimmen). Die gestoppte Zeit ist also t = Weg/Geschw. = (12 + S(v))/(1000*v) , t ergibt sich in Stunden. Pro Stunde passieren D = 1/t Autos das Tunnelende (egal wie lang der Tunnel ist!). Diesen Durchsatz D musst du maximieren. D = 1/t = 1000*v/(12 + v^2/200) = 200000*v/(2400 + v^2) , als Funktion von v. D' = 200000*(2400 - v^2)/(2400 + v^2)^2 = 0 , ergibt v = √2400 ~ 48.99 km/h , D(48.99) ~ 2041 Als Richtgeschwindigkeit wird man also (aufgerundet) 50 km/h wählen, der maximale Durchsatz beträgt 2041 Fahrzeuge pro Stunde.
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 184 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 16:01: |
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Hi egal, seltsam, Du kommst auch auf die 48,99 km/h; aus einer ganz anderen Überlegung; bei dieser Geschwindigkeit ist der Sicherheitsabstand genau einer durchschnittlichen Fahrzeuglänge; Gruß, Walter p.s. in der Realität wird der maximale Durchsatz bei 80 km/h erreicht => warum? LKWs dürfen max. 80 km/h fahren und alle anderen werden auf diese Geschwindigkeit angepasst; hingegen eine Richtgeschwindigkeit von 130 km/h verringert den Durchsatz, weil LKWs nicht schneller als 80 km/h fahren dürfen und der Durchsatz ein maximum ist. sobald vmax-vavg = 0 gilt; Mainzi Man, ein Mainzelmännchen, das gerne weiterhilft oder auch verwirrt *ggg*
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