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Beitrag |
    
dani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 00:28: | 
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halli hallo!
hab hier ne textaufgabe bei der ich nicht weiterkomm. kann mir bitte jemand helfen?
es soll eine zylindrische, oben offene dose vom volumen 1000cm^3 hergestellt werden. die herstellungskosten fuer den boden betragen ats 0,50/cm^2, fuer die wand ats 0,30/cm^2. welche masse (--->hab leider kein scharfes s auf meiner tastatur) muss die dose haben, damit die herstellungskosten minimal sind?
vielen dank im voraus!
dani |
viergutz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 01:13: |
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Radius Bodenfläche: r
Wandhöhe: h
Bodenfläche: G=pr²
Wandfläche: M=2prh
Volumen:
V = Bodenfläche*Wandhöhe
1000cm³ = V = pr²h
herstellungskosten: K = B + W
für Bodenfläche: B = pr² * 0,5/cm²
für Wandfläche: W = 2prh * 0,3/cm²
K(r,h) soll minimal werden.
K(r,h) = pr² * 0,5/cm² + 2prh * 0,3/cm²
Dies ist also eine Extremalbedingung.
Eliminiere eine der beiden unabhängigen Variablen r oder h mithilfe der Nebenbedingung
1000cm³ = V = pr²h
entscheide dich, h zu eliminieren:
h = V/(pr²)
==>
K(r,h) = K(r) = pr² * 0,5/cm² + 2pr*V/(pr²)
* 0,3/cm²
K(r) = (0,5pr² + 0,6V/r )/cm²
K'(r)=(pr - 0,6V/r² )/cm²
K''(r)=(p + 1,2V/r³ )/cm²
K'(r) = 0
==> pr - 0,6V/r² = 0
==> pr = 0,6V/r² |*r²/p
==> r³ = 0,6V/p
==> r = ³Ö(0,6V/p)
mit V = 1000cm³ :
==> r ~ 5,7588 cm
h = V/pr²
h ~ 1000cm³ / (p*(5,7588cm)²) ~ 9,5980 cm
Antwort:
damit die herstellungskosten minimal sind, muss die dose etwa folgende Maße haben:
Radius Bodenfläche: 5,8 cm
Wandhöhe: 9,6 cm
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