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Pamela
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 16:50: |
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Ich soll bis Do. ein Referat über Ableítung der Kosinusfunktion halten, d.h. auch die Herleitung. DIe ist zwar in meinem Buch, aber ich verstehe sie nicht ganz. FOlgendes Problem: (cos x)'= -sin x HErleitung mit cos x= sin ( pi:2 - x) das soll irgendwo in meinem Tafelwerk stehen, aber ich versteh nicht, wo das herkommt und warum das benutzt wird? dann weiter: statt f(x)= cosx --> f(x)=sin(pi:2 - x) v(z)=sinz z=u(x)=pi:2-x v'(z)=cosz u'(x)= -1 f'(x)= cosz*(-1)= -cos(pi:2-x)=-sinx könnt ihr mir helfen? DAnke. |
Michael H
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:42: |
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cos(x)=sin(pi/2 -x) ist ein Zusammenhang der von der Trigonometrie her bekannt sein muesste die Cosinusfunktion erhält man, wenn man die Sinusfunktion um pi/2 nach links verschiebt bei der Herleitung wird davon ausgegangen, dass die Ableitung von sin(x) bekannt ist: f(x)=sin(x) ==> f'(x)=cos(x) dann leitet man mit der Kettenregel ab, wobei z=u(x) die innere Funktion ist und sin die äussere deshalb cos'(z)=sin(z)*z' wenn man die Kettenregel direkt anwendet, dann ist keine Substitution notwendig sin'(pi/2 -x) = cos(pi/2 -x) * (-1) mit dem Zusammenhang cos(pi/2 -x)=sin(x) und sin(pi/2 -x)=cos(x) erhält man: cos'(x) = -sin(x) |
Niels
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:52: |
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Hi Pamela, Also wir haben den Kosinus in der Schule folgendermaßen hergeleitet: Ableitungsdefinition: y'=f'(x)=f(x+h)-f(x)/h lim(h->0) Also folgt für f(x)=cos(x) f'(x)=cos(x+h)-cos8x)/h im Zähler findet sich das Cos-Additionstheorem ein... cos(x+h)=cos(x)*cos(h)-sin(x)*sin(h) Wenn wir h->0 streben lassen wird cos(h)=1 Also vereinfacht sich der gesammte Bruch, weil aus dem Additionstheorem cos(x)-sin(x)*sin(h) wird. im Bruch eingesetzt ergibt folgendes: cos(x)-sin(x)*sin(h)-cos(x)/h=-sin(x)*sin(h)/h Und nun müssen wir uns um den Grenzwert von sin(h)/h für h->0 kümmern. zu diesem zwecke schaue dir vollgende Grafik an: Wenn du nun stat "x"-wie in der Grafik verwndet wird-"h" verwndest, dann kannst du leicht einsehen, das für kleine h->0 gilt: sin(h)<h<tan(h).......Tangensdefinition anwenden sin(h)<h<sin(h)/cos(h)..|:sin(h) 1<h/sin(h)<1/cos(h) Der Bruch 1/cos(h) wird für h->0 Eins, weil cos(h) für h->0 gegen 1 strebt. 1<h/sin(h)<1 Daraus folgt, das h/sin(h) 1 ist!! (->Einschließkriterium) und der Kehrwert davon sin(h)/h ist ebenfals 1 !!! Also follg aus f'(x)=-sin(x)*sin(h)/h für h->0 f'(x)=-sin(x) =============================================== |
piep
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:57: |
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Erinnerst Du Dich an die cos- Kurve??? SChau mal in Deinen Aufschrieben nach für was die 1 bei der cos-Kurve und für was die 1 bei der sin- Kurve steht, vielleicht wird es Dir dann etwas klarer!!! |
Pamela
| Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 21:49: |
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Klasse, danke! Ich habs verstanden. |
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