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Beitrag |
    
Franzl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Juli, 2002 - 08:06: | 
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Es wäre nett, wenn jemand die Lösungen hätte.
1. Beweise den Satz: Die in einem Punkt xo Element R stetigen Funktionen bilden einen Ring.
2. Es war Za={x|x=a mal z ^ z Element Z} für beliebiges, aber festes a aus z. Zeige: <Za,+> ist eine Untergruppe von <Z,+>. |
Franzl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 19:20: |
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Die 2. Aufgabe habe ich gelöst aber die 1. bekomme ich nicht hin. Bitte, bitte helft mir! |
Jan Martin Krämer (species5672)
Junior Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 23:21: |
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So, erst mal die Definition eines Ringes und was wir testen müssen.
Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und •, die je zwei Elementen x,y aus R wieder ein Element x+y bzw. x•y aus R zuordnet.
Es müssen folgende Gesetze gelten:
Für die Addition:
Assoziativität:
1) (x+y)+z=x+(y+z)
Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elements:
2) 0+x=x
Existenz und Eindeutigkeit inverser Elemente:
3) x+ -x=0
Kommutativität:
4) x+y=y+x
Für die Multiplikation:
Assoziativität:
5) x•(y•z)=(x•y)•z
Distributivgesetze:
6) x•(y+z)=x•y+x•z
7) (x+y)•z=x•z+y•z
Vorsicht! Die sehen zwar identisch aus, aber die Kommutativität der Multiplikation ist nicht gefordert (folgt aber glaube ich daraus)!!!!!!
So, definieren wir uns erstmal die Multiplikation und die Addition.
Wir machen das punktweise, d.h. für Funktionen f(x),g(x) aus dem Ring (nennen wir ihn R) ist (f+g)(x)=f(x)+g(x) und (f•g)(x)=f(x)•g(x).
Jetzt müssen wir natürlich zeigen das f+g und f•g wieder in R sind (unserem Ring, nicht die reellen Zahlen die ich als |R schreiben).
f+g und f•g müssen also in x0 stetig sein.
Sei an eine beliebige Folge mit Grenzwert x0
Dann gilt lim n to ¥ f(an)=f(x0) und das gleiche für g.
Nach dem Folgenstetigkeitskriterium müsste für (f+g)(x) und eine beliebige Folge an mit Grenzwert x0
gelten:
lim n to ¥ (f+g)(an)=(f+g)(x0)
Da aber (f+g)(x) = f(x) + g(x) ist dies äquivalent zu
lim n to ¥ f(an)+g(xn)= f(x0)+g(x0)
Da der limes von f(an) und der von g(an) existieren, ist
lim n to ¥ f(an)+g(xn)= lim n to ¥ f(an)+lim n to ¥g(an)=
f(x0+g(x0).
Damit ist f+g stetig in x0 und damit auch in R.
Das gleiche zeigt man für die Multiplikation mit analoger überlegung das man den limes eines produktes als das produkt des limes der faktoren schreiben darf wenn die einzelnen limese (was ist der plural? limetten ;)? )
existieren.
So bleibt noch der Haufen an Gesetzen zu zeigen
1) (x+y)+z=x+(y+z)
In unserem Falle hieße das also für f,g, h aus R muss gelten
(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)) ist aufgrund der Assoziativität der Addition auf |R in dem wir uns befinden wenn wir die Funktionswerte betrachten mehr als trivial.
2) 0+x=x
Ist natürlich die Nullfunktion die natürlich überall, also auch in x0 stetig ist.
3) x+ -x=0
Ist zu f(x) natürlich -f(x) das ebenfalls in x0 stetig ist (mit dem Folgenkriterium zu zeigen)
4) x+y=y+x
Ebenfalls geschenkt da f(x)+g(x)=g(x)+f(x) wegen der normalen Kommutativität in |R
5) x•(y•z)=(x•y)•z
Mit unserer Punktweisen Multiplikation folgt es wieder mal aus.... der Assoziativität in |R, wouhouh
6) 7) jetzt wird es auch mir zu blöde siehe 1)-5)
kleine Anmerkung: In unserem Falle sind 6) und 7) identisch da unsere Multiplikation kommutativ ist. Wobei ich glaube das aus 6) und 7) auch die Kommutativität folgt aber darüber habe ich jetzt nicht nachgedacht, 6 und 7 sind auf jeden Fall einfach.
Warum ist R jetzt also kein Körper?
Es fehlen nur noch 2 Dinge:
Einselement, also neutrales Element der Multiplikation
Existenz multiplikativer Inverse
Das Einselement ist f(x)=1
Es scheitert also an den multiplikativen Inversen. Warum? Sei f(x)³0 und nur bei a gleich 0. f ist also nicht die Nullfunktion, hat aber auch kein multiplikativ inverses da es kein Inverses zu f(a)=0 gibt.
Ach ja, sollten die Gesetze doch nicht so trivial sein wie ich sie hier darstelle oder solltest du irgendwas nicht verstehen, frag einfach nach.
Liegt vielleicht auch alles daran, dass es schon etwas spät ist.
(Beitrag nachträglich am 23., Juli. 2002 von species5672 editiert) |
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