Autor |
Beitrag |
Jenni (demonia)
Neues Mitglied Benutzername: demonia
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 06-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 03:38: |
|
Hab in einer Woche mündliche Prüfung.... und ich muss in Mathe eine 3,8 haben um meinen Abschluss zu bekommen kann mir jemand das Thema Parabeln erklären??? Hier eine Beispiel Aufgabe: Eine nach oben geöffnete und verschobene Normalparabel geht durch die Punkte A(5/4) und B(1/-4). Berechnen die Koordinaten des Scheitelpunktes S. Eine weitere Parabel hat die Gleichung y= -x² + 5. Bestimme zeicherisch und rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Parabeln. Gibt es eine Methode/Trick die man bei allen Aufgaben dieser Art anwenden kann? Was muss man bei solch Aufgaben beachten? Und was muss man zuerst machen?} |
Rich (rich)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: rich
Nummer des Beitrags: 83 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 12:08: |
|
Hi Jenni! Gleichung Parabel: f(x)=ax²+bx+c Hier werden a, b und c gesucht. Um eine Gleichung mit 3 Unbekannten zu lösen, benötigst du 3 Angaben: 1. Punkt A(5/4), d.h. f(5)=4 2. Punkt B(1/-4), d.h. F(1)=-4 3."Eine nach oben geöffnete ... Normalparabel", d.h. a=1 Somit kann man sich folgendes Gleichungssystem basteln: f(5)=5²+b*5+c=4 I: 25+5b+c=4 f(1)=1+b*1+c=-4 II:f(1)=1+b+c=-4 Nach Lösen des Gleichungssystems: b=-4 c=-1 Gleichung der gesuchten Parabel: f(x)=x²-4x-1 Schnittpunkte mit g(x)=-x²+5: f(x)=g(x) (beide Gleichungen gleichsetzen) x²-4x-1=-x²+5 2x²-4x-6=0 x²-2x-3=0 diese Gleichung nach bekanntem Schema lösen: x1=3 x2=-1 Schnittpunkte: f(3)=-4 S1(3/-4) f(-1)=4 S2(-1/4) Gruß Rich
"This message was printed on 100% recycled electrons!"
|
Demon
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 12:29: |
|
Also allgemein sind Parabeln durch: f(x) = ax^2 + bx + c, a,b,c reel definiert. Da bei dir aber eine Normalparabel gesucht ist, wird a = 1 und deine Funktion vereinfacht sich zu: f(x) = x^2 + bx + c (^ steht hier fuer hoch) So ihr habt Funktionen kennengelernt, als Zuordnungen, die einem bestimmten x-Wert einen bestimmten y-Wert zuordnen. Und nichts anderes sind Punkte auch. Du setzt einfach die Funktionswerte mit den y-Werten der Punkte gleich und die x-Werte setzt du in die Funktionsgleichung ein. Damit erhaelst du das Gleichungssystem: I 4 = f(5) = 5^2 + 5b + c = 25 + 5b + c II -4 = f(1) = 1^2 + b + c = 1 + b + c ------------- damit c verschwindet subtrahieren wir I von II: III 4 -(-4) = 25 - 1 + 5b - b + c - c -> 8 = 24 + 4b umstellen nach b, und es ergibt sich: -16 = 4b -> b = -4 das setzen wir in I 4 = 25 + 5b + c und erhalten 4 = 25 + 5(-4) + c = 25 - 20 + c 4 = 5 + c -> c = -1 damit haben wir beide Parameter. Die fertige Funktion lautet dementsprechend: f(x) = x^2 - 4x - 1 Den Scheitelpunkt kann man bestimmen durch quadratische Ergaenzung: Das heisst wir bringen f auf die Scheitelpunktform: f(x) = x^2 - 4x - 1 man sieht x^2 - 4x ist der erste Teil eines binomischen Ausdrucks: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 uns fehlt b. Wir koennen aber schon sagen, dass a = x, und das Mittelglied haben wir auch es soll - 4x sein also ist b = -4x/2x = -2 somit erhalten wir: (x - 2)^2 als zugehoerigen Term, aber wir wuerden wenn wir das einfach hinschreiben den Ausgangsterm veraendern, deshalb ziehen wir die ergaenzte Summe gleich wieder ab. (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 wir wollen aber f(x) = x^2 - 4x - 1 somit fuegen wir die +4 ein und ziehen sie gleich wieder ab also -4 weil +4 - 4 = 0 und somit den Ausdruck nicht veraendert. f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 - 1 zusammenfassen: f(x) = (x - 2)^2 - 4 - 1 (die ersten 3 Glieder gehoeren dann zu der Klammer) = (x - 2)^2 - 5 Dies ist nun die Scheitelpunktform. Man sieht leicht, dass ein Scheitelpunkt einer nach oben offenen Parabel der Tiefste Punkt dieser Parabel sein muss, dass wird nur erreicht wenn (x - 2)^2 = 0 damit muss x = 2 sein und der zugehoerige y-Wert ist y = -5 das laesst sich alles aus der Scheitelpunktform ablesen, man nimmt immer das Entgegengesetzte der Zahl hinter x, das ist der Scheitelpunkt x-Wert un die Zahl ganz hinten ist der Scheitelpunkt y-Wert. Allgemein: f(x) = (x + a)^2 + b -> S(-a, b) Aber in unserem speziellen Fall S(2, -5) So jetzt zu der 2. Parabel mit g(x) = -x^2 + 5 Schnittpunkte bestimmen geht ganz einfach ueber gleichsetzen: f(x) = g(x) nehmen wir unsere einfache Form von f und setzen sie ein erhalten wir: x^2 - 4x - 1 = -x^2 + 5 damit erhalten wir 2x^2 - 4x - 6 = 0 | :2 x^2 - 2x - 3 = 0 pq-Formel: x1/2 = 1 +- wurzel(1 + 3) x1/2 = 1 +- 2 x1 = 3 x2 = -1 somit sind 2 Schnittstellen bei x = 3 und x = -1. Dies setzt man jetzt in eine der beiden Funktionen ein ich wuerd sagen in g(x) ist einfacher: g(3) = -3^2 + 5 = -9 + 5 = -4 g(-1) = -(-1)^2 + 5 = -1 + 5 = 4 das heisst die Schnittpunkte sind bei S1(3, -4) und S2(-1, 4). Zur Probe koenntest du es noch in die Gleichung f(x) = g(x) einsetzen, es muesste sich eine wahre Aussage ergeben. So ich glaub ich hab dir schon einige recht allgemeine Loesungshinweise gegeben. Aber ich glaub einen Trick gibt es so richtig nicht bei sowas, zumindest nicht allgemein, wenn dann nur bei speziellen Formen. Aber die Gleichungen sind ja auch nicht so kompliziert. Hoffe geholfen zu haben -- Demon |
|