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Roundup
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 22:50: |
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Wie kann man die Behauptung beweisen: Zu einer natürlichen Zahl m lässt sich immer eine nat. Zahl n finden, so dass gilt: m³=7n-1 oder m³=7n oder m³=7n+1 ? Bis m=1290 habe ich die Behauptung überprüft, sie hat sich als wahr herausgestellt. |
ich
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 06:42: |
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Hallo, Roundup, zu zeigen ist also, dass jede Kubikzahl bei Teilung durch 7 einen der Reste -1, 0, +1 ergibt. Fuer 0..7 prueft man direkt, z.B. 3^3 = 27 = 28 - 1 ==> Teilungsrest -1 Danach schliesst man, dass (7k+x)^3 und x^3 bei der Teilung den gleichen Rest ergeben. (Man multipliziert (7k+3)^3 aus und sieht, dass ausser in x^3 in allen Summanden der Faktor 7 vorkommt. Diese tragen also zum Teilungsrest nichts bei.) Damit ist die Behauptung bewiesen. In der modulo-Schreibweise, also a = b mod 7 fuer a und b ergeben bei der Teilung durch 7 den gleichen Rest: 1^3 = 1 mod 7, 2^3 = 8 = 1 mod 7, 3^3 = 27 = -1 mod 7, ... 6^3 = 216 = -1 mod 7, 7^3 = 343 = 0 mod 7, Auserdem ist (7k+x)^3 = ... = x^3 mod 7 gruß ich |
Roundup
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 14:40: |
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Wow! Danke! |
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