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dejna (Ena_De)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 19:34: | 
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Wie lauten die Beweise für folgende Aufgaben:
1)1²+2²+3²+...n²=n(n+1)(2n+1)/6
2)1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/n(n+1)=n/n+1
3)2°+2(hoch 1)+2²+2³+...+2(hoch n)=2(hoch n+1-1)
DANKE!!!!!!! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 20:45: |
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Hi dejna
ich versuchs mit Aufgabe 1
1. Schritt: 12=1(1+1)(2*1+1)/6<=>1=6/6=1 stimmt
2. Schritt: Es gibt ein n0, so dass gilt
12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6
3. Schritt: zu zeigen ist, dass
12+22+32+...+n2+(n+1)2=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
12+22+32+...+n2+(n+1)2=[n(n+1)(2n+1)/6]+(n+1)2
=[n(n+1)(2n+1)/6]+[6(n+1)2]/6
=[n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2]/6
=(n+1)*[n(2n+1)+6(n+1)]/6
=(n+1)(2n2+7n+6)/6
=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
Aufgabe 2
1. Schritt: 1/1*2=1/2=1/1+1=1/2
2. Schritt: Gleichung gelte für ein n
3. Schritt: zu zeigen ist
1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/[(n+1)(n+2)]=(n+1)/(n+2)
1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/n(n+1)
=n/(n+1)+1/[(n+1)(n+2)]
=n(n+2)/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)
=[n(n+2)+1]/(n+1)(n+2)
=(n2+2n+1)/(n+1)(n+2)
=(n+1)2/(n+1)(n+2)
=(n+1)/(n+2)
Aufgabe 3
ist hier vielleicht ein Tippfehler enthalten?
2(hoch n+1-1) wäre 2(hoch n)
Stimmt das?
mfg Lerny |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 20:54: |
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Bereite dich auf ein gewurschtel von Klammern vor. Begriffsklärung: z.B Sn i=1i bedeutet du addierst alle i auf, für die iÎN und 1£i£n; also 1+2+3+...+i+...+(n-1)+n
Beweis durch Induktion:
Annahme Sn i=1i2=n*(n+1)*(2*n+1)/6; Überprüfen für n+1:
Sn+1 i=1i2=Sn i=1i2+(n+1)2=n*(n+1)*(2*n+1)/6+(n+1)2=
(2*n3+3*n2+n)/6+(6*n2+12*n+6)/6=(2*n3+9*n2+13*n+6)/6=
((n+1)*(2*n2+7*n+6))/6=((n+1)*(n+2)*(2*n+3))/6=((n+1)*((n+1)+1)*(2*(n+1)+1))/6
Das ist die selbe Formel, nur dass man statt n (n+1) eingesetzt hat.
Wenn man für n=1 einsetzt, so erhält man 12=(1*2*3)/6=1; Also gibt es einen Induktionsanfang, als auch einen Induktionsschluß (im Sinne von "auf etwas schließen"). Damit muss die oben aufgeführte Formel stimmen.
Mit den nächsten beiden verfährt man genauso:
Annahme: Sn i=11/(i*(i+1))=n/(n+1)
Sn+1 i=11/(i*(i+1))=Sn i=11/(i*(i+1))+1/((n+1)*(n+2))=n/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))=
(n2+2*n+1)/((n+1)*(n+2))=((n+1)*(n+1))/((n+1)*(n+2))=(n+1)/(n+2)=(n+1)/((n+1)+1)
Das ist die selbe Formel nur mit (n+1) statt n.
Induktionsanfang: 1/(1*2)=1/2=1/(1+1)
Also passt alles. Aussage bewiesen.
Annahme: Sn i=02i=2n+1-1
Sn+1 i=02i=2n+1-1+2n+1=2*2n+1-1=2(n+1)+1-1
Selbe Formel, nur mit n+1 statt n.
Anfangsbedingung auch erfüllt: 20=1=20+1-1=2-1
Passt also.
Übrigens, da war ein Schreibfehler in deiner Aufgabenstellung, ganz am Schluß. |
dejna (Ena_De)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 23:14: |
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Ich danke euch beiden wirklich für die schnelle Antwort und macht weiter so! Kompliment!!!!!!! |
anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 19:10: |
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Vollständige Induktion, gell! |
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