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michael (Meikel)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 15:16: | 
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Die Ecken eines Würfels wurden durch Ebenen abgeschnitten, die durch die Halbierungspunkte der Seiten gehen. Wie groß sind die Oberfläche und der Inhalt des Restkörpers ?
Ich hoffe, es geht ohne Zeichnung, die bekomme ich nicht mitgeschickt.
Vielen Dank im voraus ! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 17:30: |
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Hi michael
wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, schneidet du an den 8 Ecken jeweils eine Pyramide ab.
Nenne wir die Seiten des Würfels a.
Die Pyramíde hat folgende Eigenschaften:
Seitenkante s=a/2
Grundfläche = gleichseitiges Dreieck mit Grundkante c (Verbindungsstrecke von Kantenmitte zu Kantenmitte). Für dieses c gilt mit Pythagoras
c²=(a/2)²+(a/2)²=a²/2
Für das rechtwinklige Dreieck aus k (Körperhöhe der Pyramide), s und u (Umkreisradius des Grunddreiecks) gilt nun
s²=k²+u² => k²=s²-u²
k²=(a/2)²-(c/Wurzel(3))²=a²/4 - c²/3=a²/4-a²/6=a²/6 => k=a/Wurzel(6)
Für das Gesamtvolumen der Pyramiden gilt dann
V=8*1/3*G*k=8*1/3*(c²/4)*Wurzel(3)*(a/Wurzel(6))
=1/3*a²*Wurzel(3)*a/Wurzel(6)=(a³/6)*Wurzel(2)
Restvolumen = a³-(a³/6)*Wurzel(2)=(5/6)*a³*Wurzel(2)
Oberfläche=8*Dreieck+6*Quadrat
O=8*(a²/8)*Wurzel(3)+6*(a²/2)²=a²*Wurzel(2)+(3/2)*a4
Hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
mfg Lerny |
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