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Romeo
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 16:11: |
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Ein Kreisausschnitt mit dem Radius R=10cm und dem Mittelpunktswinkel =60° ist ein Rechteck größten Inhalts einzubeschreiben. Bestimmen Sie die Fläche.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 12:54: |
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Hi Romeo, Der gegebene Kreissektor mit Radius R und Zentriwinkel alpha = 60° beim Kreismittelpunkt M hat eine Symmetrieachse s, welche durch M geht und alpha halbiert. Diese Achse s wählen wir als x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems (x,y) mit Nullpunkt O in M . Die positive x-Achse schneidet den Kreisbogen des Sektors in A; die Endpunkte des Bogens seien mit B und C bezeichnet (B liegt im ersten Quadrant, C in vierten Quadrant). Es genügt aus Symmetriegründen , dem im ersten Quadrant liegenden halben Sektor (Zentriwinkel 30°) ein Rechteck P1 P2 P3 P4 mit maximalem Flächeninhalt einzubeschreiben. Die Ecke P1 (x1/h) liegt auf dem Radius OB, die Ecke P2 (x2/h) auf dem Kreisbogen BA Die Ecken P3 (x1/0) und P4 (x2/0) liegen auf der x-Achse. Beachte: P1 und P2 haben dieselbe y-Koordinate h, welche die Rolle eines Parameters spielen wird. Dabei variiert h im Intervall [0 , ½ R] Empfehlung: Stelle die Situation in einer massstäblichen Skizze dar mit R = 10 , ½ alpha = 30°, h = 4. Das rechte Intervallende h* = ½ R für h ergibt sich als Abstand des Punktes B von der x-Achse: h* = R sin 30° = ½ R Berechnung der Seiten a , b des Rechtecks, wobei a = P3 P4 = x2 - x1 und b = h gilt. Für die Fläche Ades Rechtecks gilt dann A = a * b 1. P1 liegt auf der Ursprungsgeraden g = OB Gleichung von g : y = mx ,wobei für die Steigung m = tan 30° = 1/ wurzel (3) einzusetzen ist. Da P1(x1/h) auf g liegt, gilt x1 = h / m = h * wurzel (3)...............................................(I) 2. P2 (x2/h) liegt auf dem Kreisbogen k = BA Gleichung von k : x^2 + y^2 = R^2, Da P2 (x2/h) auf k liegt, kommt: x2 = wurzel(R^2- h^2).....................................................(II) 3. Mit (I) und (II) erhalten wir a = x2 – x1 = wurzel (R^2- h^2) - h * wurzel (3) ; mit b = h kommt für die Rechtecksfläche A: A = a* b = h * wurzel (R^2- h^2) - h ^2* wurzel (3)...... (III) Damit ist A als Funktion von h dargestellt. Wir leiten A = A(h) mit der Summen-, Produkt- und Kettenregel nach h ab; Resultat: A´(h) = wurzel (R^2-h^2)- h^2 / wurzel ( R^2-h^2) - 2 h wurzel(3) Setzen wir diese Ableitung null, so entsteht nach einer einfachen Rechnung eine Wurzelgleichung für h : R^2 – 2 h^2 = 2 h wurzel(3) * wurzel ( R^2-h^2) Durch quadrieren entsteht eine biquadratische Gleichung für h, die in vereinfachter Form lautet: 16 h^4 – 16 R^2 h^2 + r^4 = 0 mit der einzigen brauchbaren Lösung für h^2: h^2 = ½ * R^2 – ¼* wurzel(3) * R^2 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Jetzt ist es Zeit, den gegebenen numerischen Wert R = 10 einzusetzen. Wir erhalten der Reihe nach die Ergebnisse: h ~ 2,588190 A max ~ 13,3974596 Um den maximalen Wert B der eingeschriebenen Rechtecksfläche im Sektor mit dem Zentriwinkel 60° zu erhalten, ist A max zu verdoppeln ; also gilt : B ~ 26,795 °°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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hd
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 09:08: |
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Ich hab's so versucht: Ziehe über einem Schenkel eine Parallele im Abstand R/2. Die schneidet dann den Kreisbogen in einem Punkt A und den anderen Schenkel in einem Punkt B. Ergänze A, B zu einem Rechteck durch rechte Winkel zurück auf den parallelen Schenkel. Für R=10 erhalte ich dann als Rechteckfläche ungefähr 28,8675. Nicht viel mehr als megamath, aber immerhin ... |
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