| Autor |
Beitrag |
    
Oliver
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 14:31: | 
|
Hallo Denksportler, hier eine Aufgabe aus meiner aktiven Zeit als Schüler.
Ein regulärer Fußball besteht aus zusammengenähten regelmäßigen Sechsecken und regelmäßigen Fünfecken. Jedes Sechseck ist abwechselnd von Sechsecken und Fünfecken, jedes Fünfeck hingegen nur von Sechsecken umgeben.
Frage: Wieviele Fünfecke und wieviele Sechsecke enthält der Fußball?
Viel Spaß beim Lösen |
M.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 23:06: |
|
War mal eine Aufgabe im Bundeswettbewerb Mathematik, die einzige, die ich nicht ganz korrekt hatte. Ca. 1982/1983.
Soweit ich mich erinnere war die Antwort 12 Fünfecke + 20 Sechsecke.
Auch viel Spaß beim Lösen.
M. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 14:43: |
|
Sehr hilfreich: Die
Eulersche Polyederformel: Wenn in einem Polyeder a die Anzahl der Ecken, b die Anzahl der Kanten und c die Anzahl der Flächen ist, dann gilt a - b + c = 2.
Beispiel: Der Würfel hat a = 8 Ecken, b = 12 Kanten und c = 6 Flächen. 8 - 12 + 6 = 2. Stimmt!
Ich weiß nicht, ob man ohne diese Formel zum Ziel gelangt. |
Gnobie
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 16:44: |
|
Super, Zaph, toller Hinweis, ohne zuviel zu verrraten:
s=Zahl der Sechsecke, f=Zahl der Fünfecke
Zahl der Flächen c=f+s
Zahl der Kanten:
f einzelne Fünfecke haben 5f Kanten, s einzelne Sechsecke haben 6s Kanten, je zwei einzelne Kanten werden bei der Bildung des Fußballs aus einzelnen n-Ecken zu einer zusammengefügt: die Zahl der Kanten 5f+6s halbiert sich:
b=(5f+6s)/2
Zahl der Ecken:
s 6-Ecke haben 6s Ecken, f 5-Ecke haben 5f Ecken, je drei Ecken werden bei der Bildung des Körpers aus einzelnen n-Ecken zusammengefügt:
Die Zahl der Ecken drittelt sich:
a=(5f+6s)/3
Nach Euler gilt damit:
(5f+6s)/3 - (5f+6s)/2 + f + s = 2 |*6
10f+12s-15f-18s+6f+6s=12
f = 12
Es sind also 12 Fünfecke. Wie aber errechne ich jetzt die Anzahl der Sechsecke? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 20:17: |
|
Fällt mir jetzt leider auch nicht ein :-(
Weiß nur noch, dass die Lösung zunächst nicht eindeutig war. Ich glaube, alle Vielfachen von 20 funktionieren. s = 0 geht z. B. auch. Das ergibt den platonischen Körper "Pentagon-Dodekaeder" - ist aber eben kein Fuball.
Ich denke noch mal drüber nach ... |
Yleph (Yleph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 07:17: |
|
an jedes sechseck grenzen 3 fünfecke und 3 sechsecke, dh. jedes sechseck hat drei drei freiheiten (so nenne ich mal grenzflächen zwischen verschiedenen Polygonen)
jedes fünfeck grenzt an 5 sechsecke und hat somit fuenf freiheiten
=> 12 * 5 freiheiten müssen mit x * 3 freiheiten abgeglichen werden
=> x = 12*5/3 = 20 sechsecke |
Gnobie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 20:21: |
|
Hallo Yleph, deine Ausführung mit den freiheiten (ist wohl nur ein name, aber trotzdem: ) verstehe ich nicht. kannst du die Überlegung nicht noch einsichtiger beschreiben? |
Yleph (Yleph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 07:30: |
|
Hi Gnobie,
Freiheit hab ich eine Kante zwischen einem Fünf- und einem Sechseck genannt.
In den Voraussetzungen steht, daß jedes Fünfeck nur von Sechsecken umgeben ist (5 Kanten hat die Kante zwischen Fünf- und Sechseck sind, sprich 5 Freiheiten) und jedes Sechseck abwechselnd von Fünf- und Sechsecken begrenzt wird (dh. jede zweite Kante ist Kante zwischen Fünf- und Sechseck = Freiheit => 3 Freiheiten).
Da nun die Zahl der Fünfecke bekannt ist (12) und somit auch die Zahl der Freiheiten der Fünfecke (5*12 = 60) ist auch die Zahl der Freiheiten der Sechsecke bekannt (60), da jeder Freiheit eines Fünfecks genau eine Freiheit eines Sechsecks gegenübersteht. Damit ist aber nun auch die Zahl der Sechsecke bekannt (60/3 = 20), da jedes Sechseck genau drei Freiheiten hat.
Ich hoffe es ist diesmal verständlicher geworden. |
|
