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Beitrag |
    
petra (Nofres)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 15:25: | 
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Gesucht sind alle Zahlentripel (a,b,c) der natürlichen Zahlen, mit folgender Eigenschaft:
Die Summe zweier Zahlen ist jeweils ein Vielfaches der dritten Zahl. |
Mulder
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 15:29: |
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Mein Vorschlag: a=b=c, sonst keine. |
petra (Nofres)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 17:03: |
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Nein, das ist falsch. Alle Zahlentripel mit (x,2x,3x) sind Lösungen, z. B. (2,4,6). Mein Problem ist zu Beweisen, dass dies alle Lösungen sind. ´Nofres |
Murray (Murray)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 17:37: |
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Muß gelten a != b != c ?
Sonst gäbe es auch das Trippel (1,1,2)
Ich schätze man braucht nur
I. a + b = c und
II. a und b Teiler von c
zu betrachten, da alle anderen Trippel symmetrisch sind.
z.B. (2,6,4) statt (2,4,6) - das vereinfacht die Sache etwas
Murray |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 17:40: |
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Mulders Vorschlag (x,x,x) geht doch auch!
Ist das eine Wettbewerbsaufgabe?? |
petra (Nofres)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 20:30: |
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Nein, das ist keine Wettbewerbsaufgabe, sondern eine Staatsexamensaufgabe von diesem Jahr. Die genaue Aufgabenstellung lautete: "Bestimmen Sie alle Tripel (a,b,c) paarweise verschiedener natürlicher Zahlen derart, dass jede dieser drei Zahlen die Summe der beiden anderen teilt."
Grüße Nofres |
DarkOne
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 12:01: |
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Paarweise verschieden heisst doch zunächst a != b != c.
Weiterhin können wir der oBdA davon ausgehen, dass a < b < c gilt.
Es soll gelten:
a+b = x*c
a+c = y*b
b+c = z*a
=>
a = x*c - b
eingesetzt: x*c - b + c = y*b
eingesetzt: b+c = z*(x*c - b)
=>
a = x*c - b
b = (x+1)*c / (y+1)
eingesetzt:
(x+1)*c /(y+1)+ c = z*(x*c -(x+1)*c / (y+1)
nach einigem umformen folgt aus der dritten Zeile:
x*y*z - (x+y+z) = 2
Wenn du nun zeigst, dass dies nur für das Zahlentripel 1,2,5 gilt, hast dus.
Denn aus a < b < c folgt x < y < z
Also gilt dann:
a+b = c
a+c = 2b => a+a+b = 2b => 2a = b
b+c = 5a => 2a+c = 5a => c = 3a
da a=a, b=2a und c=3a ist, gilt dann eben deine Lösung.
Weiss nicht, ob das hilft... |
DarkOne
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 12:17: |
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Ein Versuch:
Wenn bei x,y,z KEINE 1 dabei ist, ist die Lösung mit den niedrigsten Zahlen 2,3,4 , da ja alle verschieden sein müssen.
Dann ist 2*3*4 - (2+3+4) = 15
Wenn man nun eine Zahl um einen vergrössert, nimmt die Summe um einen zu, das Produkt aber miindestens um 6. Die fragliche Differenz nimmt also um mindestens 5 zu. Sie soll aber zwei sein.
Geht also nicht, also muss eine der Zahlen 1 sein.
Dies ist logischerweise die kleinste, also x.
Bleibt über:
1*y*z - (1+y+z) = 2 => y*z - (y+z) = 3
Weiter:
Wenn KEINE 2 beim Rest ist, ist die Minimallösung 3,4. Dann gilt:
3*4 -(3+4) = 5
Erhöht man wieder eine der Zahlen um einen, vergrössert sich die Summe um 1, das Produkt um mindestens 3, also die Gesantdifferenz vergrössert sich um 2. Sie soll aber 3 sein: Geht nicht. Demnach ist eine Zahl 2.
Bleibt übrig:
1*2*z - (1+2+z) = 2 => z=5
TATA |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 12:55: |
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Hey!
Es heißt doch ausdrücklich, bestimme alle Zahlentripel!
Die Lösung (1,2,3) und alle Vielfachen davon gibt es aber auch:
1|5,2|4 und 3|3 |
DarkOne
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 13:10: |
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Deine Lösung ist unsere.
mit x =1.
;) |
DarkOne
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 13:18: |
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Mein zweites posting behandelt nur einen fehlenden Teil im Beweis meines ersten postings
1,2,5 ist keine Lösung der Original Aufgabe
Und 1,2,3 ist eine Lösung im Sinne von Nofres' (x,2x,3x) |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 16:58: |
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Well done, DarkOne! |
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