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Ideale, Nilradikal

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Janni
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 14:19:   Beitrag drucken

Hallo,
bräuchte dringend Hilfe bei einer Aufgabe:

Sei R ein Ring. Man zege, dass die Teilmenge {a e R; es existiert ein n e N mit a^n=0} ein Ideal in R definiert. (das sogenannte Radikal oder Nilradikal von R)

Vielen Dank für jeden Lösungsansatz!!!
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2033
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 15:58:   Beitrag drucken

Hallo Janni

Ist R kommutativ?

MfG
Christian
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Janni
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 16:42:   Beitrag drucken

Hallo Christian,
ja R ist kommutativ.

MJG Janni
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1118
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 17:01:   Beitrag drucken

Janni,

dann ist die Sache einfach:

1) Sei am = bn = 0. Rechne nach dem binomischen Satz aus, dass dann (a-b)m+n = 0.
Also ist die fragliche Menge eine Untergruppe von
(R,+).
2) Wenn am=0 und r € R beliebig, so ist auch
(ra)m = 0.
mfG Orion
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janni
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 18:57:   Beitrag drucken

hallo orion,

ungefähr bis dahin bin ich auch schon gekommen,
mein problem liegt explizit in dem nachweis der
abgeschlossenheit unter der addition (also dein punkt 1) ).
hab versucht, ((a+b)^(m+n))=0 zu zeigen, bin dabei
aber nicht auf nen grünen zweig gekommen.

mfg,
janni
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2034
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 19:39:   Beitrag drucken

Hallo Janni

In kommutativen Ringen gilt
(a-b)m+n
=Sn+m k=0 [m+n;k] am+n-k*(-b)k
[m+n;k] soll den Binomialkoeffizienten m+n über k bezeichnen.

Nun ist in jedem Fall k³n oder m+n-k³m für 0£k£m+n. Insbesondere ist also am+n-k=0 oder (-b)k=0.
Damit wird die ganze Summe oben Null.

MfG
Christian
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janni
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 19:53:   Beitrag drucken

super, vielen dank,
das hat mich echt gerettet!!

hätt ich ja auch mal selbst drauf kommen
können..

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