Autor |
Beitrag |
linda
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 30. Januar, 2006 - 13:00: |
|
hallo - ich weiß nicht, wie ich folgende aufgaben richtig zeigen soll. habe mir die funktionen schon aufgemalt, aber.... (haben auch nie n beispiel dazu gerechnet) kann mir bitte jemand sagen, wie das geht?! a) überprüfen, ob punktweise oder gleichmäßige konvergenz vorliegt und grenzfunktion angeben 1) fn: R-->R ; x --> exp (-n(x²+1)) 2) gn: R-->R ; x --> (x+1/n)² 3) hn: R-->R ; x --> nx/(1+betrag nx) b) fn: R-->R ; x --> nx exp (-nx²) zu zeigen: funktionenfolge ist auf allen intervallen (a,b), die nicht den nullpunkt enthalten gleichmäßig konvergenz vielen dank schonmal! lg linda |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1116 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 30. Januar, 2006 - 17:27: |
|
Linda, Hinweise: 1) fn(x) £ e-n ® 0 : (fn(x)} strebt gleichmässig bzgl. x gegen 0. 2) gn(x) strebt punktweise gegen x2 für alle x, nicht hingegen gleichmässig : | gn(x) - x2 | = 2x/n + 1/n2 > 2x/n > 1 sobald x > n/2. 3) hn(x) strebt ® 0, wenn x = 0, punktweise ® 1, wenn x>0, und ® -1, wenn x<0 . Insgesamt also hn(x) ® sgn(x). Die Konvergenz ist nicht gleichmässig. Für x>0 ist z.B. |hn(x) - 1| = 1/(1+nx) > 1/2, wenn nur x < 1/n. mfG Orion
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1117 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 30. Januar, 2006 - 18:15: |
|
Fortsetzung: b) Es genügt, x>0 zu betrachten. Dann gilt enx2 = 1 + nx2 + (1/2!) n2x4+... > n2x4/2 => |fn(x)| < 2/(nx3) Im Intervall (a,b) mit a>0 ist dann |fn(x)| < 2/(na3). Dies ist < als ein gegebenes e > 0, wenn nur n > 2/(a3e), letzteres ist unabhängig von x, daher haben wir gleichmässige Konvergenz gegen 0. mfG Orion
|
|