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Beitrag |
    
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 11:59: | 
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Hallo zusammen,
ich habe folgende Hausübung, die ich bis nächsten Mittwoch bearbeiten muss. Ich wollte eben damit anfangen, aber scheitere schon am ersten Teil der Aufgabe. Kann mir irgendwer damit weiterhelfen? das wäre superlieb.
Vielen, vielen Dank im Voraus,
Kerstin |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2010
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 12:41: |
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Hallo Kerstin
Teil (i) geht folgendermaßen:
Induktionsanfang ist klar.
Schluss: n->n+1
xn+1=1/(2+xn)<1/(2+0)=1/2<1
und xn+1=1/(2+xn)>1/(2+1)=1/3>0
MfG
Christian |
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 13:46: |
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Hallo Christian,
danke erst mal! Ich bin noch am Nachvollziehen, aber ich denke, das kriege ich hin.
Kannst du mir vielleicht auch bei den anderen beiden Teilen helfen? Ich habe es echt versucht, aber da bekomme ich gar nichts hin :-(.
Danke, Kerstin |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2020
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 15:13: |
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Hallo Kerstin
Zu (ii):
|xn+k+1-xn+1|
=|1/(2+xn+k)-1/(2+xn)|
=|(xn-xn+k)/[(2+xn+k)(2+xn)]|
Wir hatten vorher gezeigt, dass alle xi größer als Null sind, also ist der Nenner oben größer als 4. Es folgt
|(xn-xn+k)/[(2+xn+k)(2+xn)]|
£ 1/4*|xn+k-xn|
Analog folgt
|xn+k-xn|£1/4*|xn+k-1-xn-1| usw.
D.h. den Schritt führst du jetzt so oft aus, bis der zweite Summand im Betrag x1 ist. Dann hast du
1/4*|xn+k-xn|£1/4n|xk+1-x1|
Wir können daraus mit (i) noch folgern, dass
1/4n|xk+1-x1|<1/4n ist. Insbesondere ist (xn) damit eine Cauchyfolge und konvergent.
(iii) Wir wissen nun, dass die Folge konvergiert mit Grenzwert x. Also gilt
x=lim(n->¥) xn+1=lim(n->¥) 1/(2+xn) = 1/(2+x)
Die Gleichung löst du nach x auf. Du erhältst die Lösung
x=-1+sqrt(2)
(Die Lösung -1-sqrt(2) kommt nicht in Frage, weil sie negativ ist).
MfG
Christian |
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 21:28: |
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Hallo Christian!
Noch mal vielen, vielen Dank. Ich bin jetzt gerade dabei, das Ganze nachzuvollziehen...
Leider scheitere ich schon bei der Induktion :-(. Wieso kannst du einfach schreiben, dass x(n+1)<1/(2+0) bzw. >1/(2+1) ist? Kannst du mir das noch mal erklären?
Und dann bei (ii) komme ich noch mehr ins Schleudern :-(. Den ersten Schritt verstehe ich noch, bis dahin, wo du schreibst, dass der Nenner größer sein muss als 4. Aber danach hört es ehrlich gesagt auf. Falls du noch mal ein bisschen Zeit hast, freue ich mich über deine Erklärung, falls nicht, bin ich dir trotzdem sehr dankbar, dass ich wenigstens die Lösung habe.
Kerstin |
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Dezember, 2005 - 10:48: |
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Noch mal hallo,
ich bin immer noch am Verstehen, bzw. bei dem Versuch... Wie hast du bei (iii) die Gleichung x=1/(2+x) aufgelöst, sodass du -1+sqrt(2) rausbekommst? Wenn ich das auflöse, komme ich auf -2+(bzw. -)sqrt(3). Wo ist mein Fehler?
Danke, Kerstin |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2025
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Dezember, 2005 - 11:17: |
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Hallo Kerstin
Fangen wir mal bei (i) an:
Wieso kannst du einfach schreiben, dass x(n+1)<1/(2+0)
Wir wissen, dass xn € (0,1) nach Induktionsvoraussetzung.
Nun ist xn+1=1/(2+xn)
Naja, jetzt liegt wie gesagt xn in (0,1), also ist 1/(2+xn)<1/(2+0)=1/2
Analog zeigst du den anderen Fall.
(ii) Wir haben gezeigt, dass
|xn+k+1-xn+1|£1/4*|xn+k-xn|
Das haben wir ja für alle n,k aus IN gezeigt, also gilt natürlich auch
|xn+k-xn|£1/4|xn+k-1-xn-1|
|xn+k-1-xn-1|£1/4|xn+k-2-xn-2|
usw.
Das fügst du einfach zusammen:
|xn+k+1-xn+1|£1/4*|xn+k-xn|
£1/4*(1/4*|xn+k-1-xn-1|)
£ 1/4*(1/4*(1/4*|xn+k-2-xn-2|))
£...
£ 1/4n|xk+1-x1|
Gut, jetzt kommt noch der letzte Schritt:
Aus (i) wissen wir, dass xk+1 und x1 beide im Intervall (0,1) liegen. Wenn man zwei Zahlen aus diesem Intervall voneinander subtrahiert landet man im Intervall (-1,1). Also gilt
|xk+1-x1|£1
Insbesondere
1/4n|xk+1-x1|£1/4n
Warum ist (xn) jetzt Cauchyfolgt?
Wir haben mit der Ungleichungskette von oben gezeigt, dass für alle n,k € IN folgendes gilt:
|xn+k+1-xn+1|£1/4n
Jetzt schauen wir uns die Definition einer Cauchyfolge an. Dazu legen wir uns ein e>0 vor.
Wähle nun N aus IN so groß, dass 1/4N<e ist.
Seien nun m,n³N+1. Ohne Einschränkung soll m³n sein, das heißt es gibt ein k aus IN mit m=n+k. Dann folgt
|xm-xn|=|xn+k-xn|£1/4n-1
£1/4N<e.
Damit ist gezeigt, dass (xn) Cauchyfolge ist.
Zu (iii): Wie hast du bei (iii) die Gleichung x=1/(2+x) aufgelöst, sodass du -1+sqrt(2) rausbekommst?
x=1/(2+x)
<=> x2+2x-1=0
Das ist eine ganz normale quadratische Gleichung, wo es Lösungsformeln für gibt. Ansonsten machst du quadratische Ergänzung.
MfG
Christian |
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Dezember, 2005 - 11:02: |
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Wow! Vielen, vielen Dank, Christian! Du bist besser als jeder "reelle" Nachhilfelehrer! Danke, dass du dir diese ganze Mühe gemacht hast. Ich glaube, jetzt kann ich alles nachvollziehen.
Ich wünsche dir frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! |
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