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Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 12:14: | 
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Hallo ihr,
ich habe (schon wieder) eine Frage:-)
Es geht diesmal um den KOnvergenzradius von Potenzreihen, wäre super, wen ihr mir da weiterhelfen könntet.
Also:
Seien r und s die KOnvergenzradien der Potenreihen Sum[N=0, inf, an*z^n] bzw Sum[N=0, inf, bn*z^n].
Bei an, bn soll das n der Index sein...
Dann soll (angeblich) gelten, dass der KOnvergenzradius von Sum[N=0, inf, (an+bn)*z^n]
größer oder gleich min(r,s) ist.
Und dass der Konvergenzradius von Sum[N=0, inf, cn*z^n] (mit cn:=Sum[k=0,n, an*b(n-k)] also die ersten beiden Reihen gliedweise ausmultipliziert und nach Potenzen von z sortiert) auch größer oder gleich min(r,s) ist.
Wäre echt super, wenn da jmd eine Lösung hat.
Gruß
Eckhard
(Beitrag nachträglich am 09., Dezember. 2005 von Toxical editiert) |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1997
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 13:06: |
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Hallo Eckhard
Zum ersten Teil: Wir nehmen zunächst ohne Einschränkung an, dass r und s positiv sind, sonst ist die Aussage trivial.
r=sup{x€IR | (anxn) ist beschränkt}
Analog s, wobei der "Wert" ¥ zugelassen sein soll.
Beschränkt heißt, dass
|anxn|£C gilt
und |bnxn|£D für x aus dem jeweiligen Konvergenzbereich.
Insbesondere gelten beide Ungleichungen für x<min(r,s).
Für x<min(r,s) gilt damit
|(an+bn)xn|
£|anxn|+|bnxn|
£C + D
Also ist der Konvergenzradius der Reihe
S ¥ n=0 (an+bn)*xn
in jedem Fall größer als min(r,s).
Zum zweiten Teil:
Hier solltest du einfach die Umordnungssätze für absolut konvergente Reihen nehmen und beachten, dass Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzbereichs absolut konvergent sind.
MfG
Christian |
Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 15:57: |
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Hej Christian,
Danke für Deine Antwort.
Für den ersten teil kann ich das gut nachvollziehen... aber für den zweiten....?
Ich weiß nicht wirklich, wie mir die Umordnungssaätze für abs. kvgte Reihen weiterhelfen... Könntest du vielelicht noch einen kleinen Hinweis geben ? *g*
danke
Eckhard |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1999
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 17:56: |
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Hallo Eckhard
Der Umordnungssatz lautet wie folgt:
Die Reihen S¥ k=0 ak und S¥ k=0 bk seien absolut konvergent. Dann konvergiert jede ihrer Produktreihen absolut gegen (S¥ k=0 ak)(S¥ k=0 bk)
In unserem Fall konvergieren beide Reihen absolut für x<min(r,s). Also konvergiert auch deine Produktreihe absolut für x<min(r,s). Insbesondere ist dann ihr Konvergenzradius größer gleich min(r,s).
MfG
Christian |
Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 18:12: |
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Ah, ok, Danke
Und noch eine Frage:-)
Wie kann man denn so schöne Sumemnzeichen schreiben? Gibt es da irgendwo 'ne Übersicht?
Eckhard |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2001
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 22:04: |
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Hallo
Schau einfach mal links bei "Formatieren". Hier nochmal direkt der Link:
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/discus.cgi?pg=formatting
MfG
Christian |
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