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Komposition von injektiven, surjektiv...

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Fabienne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 12:56:   Beitrag drucken

Hallo noch mal und gleich noch eine Aufgabe von mir, an der ich vollkommen verzweifele:

Komposition

Hier bin ich über jeden noch so kleinsten Tipp dankbar, ich weiß nicht mal, wie ich überhaupt anfangen soll, oder in welcher Form man das beweisen könnte :-(. Dankeschön!!
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1971
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 16:00:   Beitrag drucken

Hallo Fabienne

1. Seien f und g injektiv.

Wir zeigen, dass g o f injektiv ist:

Angenommen es gäbe ein x und y mit
(g o f)(x)=(g o f)(y)
=> g(f(x))=g(f(y))
Da g injektiv ist, gilt
f(x)=f(y)
Da f injektiv ist, folgt
x=y
Also ist g o f injektiv.

2. Seien f,g surjektiv
Sei nun ein beliebiges Element c aus C vorgelegt.

Da g surjektiv ist existiert ein b aus B mit g(b)=c.
Da f surjektiv ist gibt es zu diesem b ein a aus A mit f(a)=b

=> (g o f)(a)=g(f(a))=g(b)=c

=> g o f ist surjektiv.

3. Da bijektiv = injektiv + surjektiv folgt die Aussage sofort aus 1. und 2.

Zur Knobelaufgabe:
Bei Komposition von Funktionen gilt das Assoziativgesetz, dann stehts eigentlich sofort da. Also häng einfach mal die Funktionen f-1 o g-1 und f o g anneinander. Dann kommt die Identität heraus. Da das Inverse eindeutig bestimmt ist, folgt obige Gleichung.

MfG
Christian
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Fabienne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. November, 2005 - 08:28:   Beitrag drucken

Hallo Christian!

Dankeschön, hast mir sehr weitergeholfen! Willst du dich nicht bewerben für die Nachhilfe-Lehrer-Stelle? ;-)
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/383470.html
Wenn nicht, meinst du, du könntest evtl. noch meine Umkehrabbildungen-Aufgabe nachschauen? (http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/383473.html) Das wäre supernett!
Ich bin echt froh, dass es Leute gibt, die sowas freiwillig machen, denn ich wüsste wirklich keinen, an den ich mich sonst wenden könnte, der mir mit diesen Aufgaben hilft.
Danke!
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1978
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. November, 2005 - 13:56:   Beitrag drucken

Hallo Fabienne

DankeschÜn, hast mir sehr weitergeholfen! Willst du dich nicht bewerben fÜr die Nachhilfe-Lehrer-Stelle? ;-)

Also ich glaube, dass ich dafÜr leider zu wenig Zeit habe. Bin ja selbst am studieren :-)

Wenn nicht, meinst du, du kÜnntest evtl. noch meine Umkehrabbildungen-Aufgabe nachschauen?

Habe ich gerade was zu geschrieben.

MfG
Christian
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Fabienne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. November, 2005 - 12:05:   Beitrag drucken

Hallo noch mal,

schade, aber verstehe ich natürlich. Vielleicht kannst du mir dann ja trotzdem ab und zu im Forum helfen.
Und dankeschön auch noch mal zu der Umkehraufgabe, das war natürlich ein ziemlich dummer Fehler, dass sich der Definitions-Bereich umkehrt, hatte ich ja eigentlich gelernt. Vielen lieben Dank!!!

Fabienne

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