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Beitrag |
    
Jenny
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 19:16: | 
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Hallo,
weiß hier vielleicht, wie dieses Beweisverfahren der vollständigen Induktion funktioniert?
Ich hbae das heute in der Vorlesung überhaupt nicht verstanden und jetzt soll ich auch noch so einen Beweis durchführen. Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte.
a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 5 ist Teiler von (11^n-1)
Und dann soll man noch sowas beweisen. Die Aufgabe lautet:
Man soll für die Aussage"5 ist Teiler von (7^n-5)" zeigen, dass der Induktionsschluss "funktioniert", und begründen Sie , warum die Aussage dennoch nicht für alle natürlichen Zahlen gilt.
Ohne eure Hilfe bin ich echt aufgeschmissen. alleine krieg ich das echt nicht hin.
Danke!
Gruß Jenny |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2014
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 19:43: |
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Hallo Jenny
Das Induktionsverfahren ist sehr wichtig, von daher werde ich es hier nochmal kurz erklären.
Voraussetzung ist zunächst mal, dass du eine Aussage A(n) über eine natürliche Zahl n hast.
In deinem Fall ist für n€IN die Aussage A(n):
5 ist ein Teiler von 11^n-1.
Diese Aussage wollen wir für alle n aus IN zeigen.
Das geschieht im Prinzip in zwei Schritten:
1.Induktionsanfang: Verifiziere die Aussage A(n0) für irgendein n0 aus IN.
Du kannst bei deinem Beispiel etwa n0=0 wählen.
2.Induktionsschluss: Du nimmst an die Aussage A(n) gelte für ein beliebiges n³n0. Dann zeigst du, dass daraus die Aussage A(n+1) folgt.
Wichtig ist hier, dass n wirklich beliebig sein muss. D.h. A(n) => A(n+1) muss für alle n³n0 gelten.
Jetzt folgt aus 1. und 2., dass die Aussage A(n) für alle n³n0 gilt.
Warum ist das so?
In 1. haben wir A(n0) bewiesen. Nach 2. folgt daraus, dass A(n0+1) gilt.
Nach 2. folgt daraus wiederum, dass A(n0+1+1) gilt usw.
Zurück zu deinem Beispiel:
Induktionsanfang: n0=0.
Das ist richtig, denn 5 teilt 11^0-1=0 (jede Zahl teilt 0).
Induktionsschluss: n->n+1
Wir gehen nun davon aus, dass 5 ein Teiler von 11^n-1 ist.
Nun gilt
11^(n+1)-1=11*11^n-1=(10*11^n)+(11^n-1)
Nun ist der Term in der ersten Klammer offenbar durch 5 teilbar. Der in der zweiten ist nach Induktionsvoraussetzung durch 5 teilbar. Also ist 11^(n+1)-1 durch 5 teilbar.
Damit haben wir A(n) => A(n+1) gezeigt, womit die Aussage bewiesen ist.
Jetzt sollte auch klar sein, warum die zweite Aussage oben nicht für alle natürlichen Zahlen gilt. Der Induktionsanfang funktioniert für n=0 nicht. Wenn bei euch die natürlichen Zahlen bei 1 beginnen, kannst du sofort nachrechnen, dass der Induktionsanfang auch für n=1 nicht funktioniert.
Hier hatte ich übrigens vor ein paar Tagen zu fast dem gleichen Problem etwas geschrieben:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/383647.html
MfG
Christian |
Nachadamriese (Nachadamriese)
Neues Mitglied
Benutzername: Nachadamriese
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 12:25: |
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ja hallo. ich teste grad die zwhalreich HP. bei den ganzen beitrÜgen is das ja fast wie nachhilfe. super!!  |
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