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stetig diffbare Fkten, nstfreie Deter...

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Buzzy (Buzzy)
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Junior Mitglied
Benutzername: Buzzy

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juli, 2005 - 12:53:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich hab hier zwei Aufgabe aus der Übungsklausur vom Prof, aber leider habe ich keinen Schimmer, wie ich die beweisen könnte.
Könnt ihr mir bitte helfen?
Wäre super!
Danke schon mal,
BuZzY

1)
Die Funktionen y_1,...,y_n:I->R seien n-mal stetig diffbar und die Wronskische Determinante der Funktion y_1,...,y_n sei nullstellenfrei auf I. Zeige: Es gibt genau ein System von stetigen Funktionen a_1,...,a_n:I->R, so dass y_1,...,y_n ein Hauptsystem der DGL y^(n)+a_1y^(n-1)+...+a_(n-1)y'+a_ny=0 ist.

2)
Die Funktionen y_1,...,y_n:I->R^n seien stetig diffbar und die Determinante |y_1,...,y_n| sei nullstellenfrei auf I. Zeige: Es gibt genau eine stetige Funktion A:I->M(nxn,R), so dass die Funktion y_1,...,y_n ein Hauptsystem der DGL y'=Ay bilden.
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1065
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juli, 2005 - 16:23:   Beitrag drucken

Buzzy,

Hinweis:

1) Es soll für k = 1,...,n gelten

a1yk(n-1) + ... + a0yk = - yk(n)

Das ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
für a1,...,an. Wi sei die Determinante, welche
aus der Wronskideterminante W entsteht, indem man
die k-te Spalte durch y1(n),...,yn(n)
ersetzt. Dann ist nach der Cramer'schen Regel

ai = Wi/W , i = 1,...,n

2) Es soll gelten

(*) yi' = A yi , i=1,...,n.

Fasse die Spaltenvektoren yi als Spalten der Matrix
Y auf , dann lautet (*) als Matrixdifferentialgleichung

Y' = A Y.

Nach Vor. ist det Y nullstellenfrei, also Y invertierbar.
Somit leistet

A = Y' Y-1

das Verlangte.
mfG Orion
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Buzzy (Buzzy)
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Junior Mitglied
Benutzername: Buzzy

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2004
Veröffentlicht am Montag, den 11. Juli, 2005 - 13:02:   Beitrag drucken

Danke erstmal!
2) habe ich verstanden und nu wohl auch komplett gelöst.
1) verstehe ich allerdings nicht, könntest du mir das bitte erklären?

BuZzY
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1066
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 11. Juli, 2005 - 14:27:   Beitrag drucken

Buzzy,

Das ist nichts anderes als lineare Algebra (Lineare
Gleichungssysteme !) Allerdings müsste es wegen des - -Zeichens auf der rechten Seite ai = - Wi/W
heissen. Schreib Dir das doch mal z.B. für n=2 oder 3
explizit hin !
mfG Orion

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