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Ein kompliziertes Integral

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Kay_s (Kay_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 134
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Montag, den 27. Juni, 2005 - 16:44:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich suche eine Herleitung für folgende Identität:

identitaet

Auf der rechten Seite kommt ein Wert der Riemannschen Zetafunktion vor.
Das ist - zugegeben - nicht sofort offensichtlich, aber möglicherweise ist die Herleitung jemandem bekannt.

Kay S.
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1857
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 27. Juni, 2005 - 17:59:   Beitrag drucken

Hallo Kay

Ich habe zwar gerade keine vollstÜndige Herleitung, aber es sieht mir sehr danach aus, dass du folgende Beziehung zwischen Gamma-Funktion und Zetafunktion nutzen solltest: Fur s>1 gilt
ò0 ¥ xs-1/(ex-1) dx =G(s)z(s)

In deinem Fall ist s gleich 3/2. Und es gilt:
G(3/2)=1/2*G(1/2)
Und G(1/2)=sqrt(p). Damit hast du zumindest schonmal die rechte Seite :-)

MfG
Christian
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Kay_s
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 27. Juni, 2005 - 18:29:   Beitrag drucken

Das scheint zumindest ein Fortschritt zu sein.
Substituiere ich im Integranden x = z2, erhalte ich

ò0 ¥ 2z2/(ez^2 - 1) dz

Jetzt stellt sich nur die Frage, woher der Logarithmus kommt.
Vielleicht eine weitere Subtitution?
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1059
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 27. Juni, 2005 - 19:39:   Beitrag drucken

Kay,

schreibe den Integranden als

ln[ex2/(ex2-1)],

substituiere x2= u und vertreibe den ln durch
partielle Integration (Ableitung des ln-Faktors ). Dann
kommt Christians Integral mit s=3/2 heraus.

(Beitrag nachträglich am 27., Juni. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1060
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 27. Juni, 2005 - 19:40:   Beitrag drucken

Kay,

schreibe den Integranden als

ln[ex2/(ex2-1)],

substituiere x2= u und vertreibe den ln durch
partielle Integration (Ableitung des ln-Faktors ). Dann
kommt Christians Integral mit s=3/2 heraus.
mfG Orion
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1061
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Juni, 2005 - 11:00:   Beitrag drucken

Nachtrag :

Vielleicht sollte man korrekterweise noch zeigen, dass
der ausintegrierte Anteil

h(u) := u1/2*ln[eu/(eu-1)]

für u®0 und u®¥ gegen Null strebt.

Für u®0 haben wir

0<h(u) = u1/2*ln[1+ 1/(eu-1)]

< u1/2*ln(1+1/u) = u1/2[ln(1+u) - ln u] ® 0.

Für u®¥ haben wir wegen

ln(1-z) = - z + O(z2)

h(u) = - u1/2*ln(1-e-u) = O(u1/2e-u) ®0
mfG Orion

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