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Ungleichung zeigen?

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Manni234
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Juni, 2005 - 17:04:   Beitrag drucken

Guten Tag, alle zusammen!

Wer hat viell einen guten Tipp zu dieser Aufgabe?

Es seien f,g:[a,b]->IR zwei Fkt, f diffbar, g stetig und es gelte f´<=(kleiner oder gleich)gf . Ferner sei G eine Stammfkt von g. Zeigen Sie: Für alle x aus [a,b] gilt: f(b)exp(G(x)-G(b))<=f(x)<=f(a)exp(G(x)-G(a)) .

Wäre echt super, wenn jemand n Ansatz oder gar die Lösung dieser schweren Aufgabe hätte!

Vielen Dank!
Gruß Manni
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1851
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Juni, 2005 - 17:51:   Beitrag drucken

Hallo Manni

Habe gerade leider keine Zeit mir das genauer zu Überlegen, aber nehmen wir zunÜchst mal an, dass f(x) und f'(x) durchweg grÜÜer 0 ist auf [a,b].
Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt
òb x g(t) dt = G(x)-G(b)
Weiter ist:
òb x f'(t)/f(t) = log(f(x))-log(f(b))
Also
f'(x)£g(x)*f(x)
=> f'(x)/f(x)£g(x)
Jetzt integrieren wir auf beiden Seiten von b bis x. Da alle Funktionen positiv sind bleibt £ erhalten, also
log(f(x))-log(f(b))£G(x)-G(b)
<=> elog(f(x))-log(f(b))£eG(x)-G(b)
<=> f(x)/f(b)£eG(x)-G(b)
<=> f(x)£f(b)eG(x)-G(b)
Ist irgendwie anders herum wie du es oben hast. Solltest das alles nochmal nachrechnen, mit dem Ansatz sollte es aber eigentlich funktionieren.

MfG
Christian
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1045
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Juni, 2005 - 18:10:   Beitrag drucken

Manni,

In aller Eile ein Tipp:

Ich nehmen mal an, dass f in [a,b] positiv ist.
Dann gilt

f'(x)/f(x) £ g(x).

Integriere dies über [a,x], dann folgt schon mal

ln f(x) - ln f(a) £ G(x) - G(a) =>

f(x) £ f(a) exp[G(x)-G(a)]
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1852
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Juni, 2005 - 18:44:   Beitrag drucken

Hallo Manni

Ich sehe gerade meinen Fehler. Du musst oben natÜrlich die Integrationsgrenzen vertauschen. Dann kommt auch das Richtige raus.

MfG
Christian
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Manni234
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Juni, 2005 - 19:10:   Beitrag drucken

vielen dank euch alle, echt nett von euch!
gruÜ

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